Хорошие и плохие функции

[Anton_Peplov]

Как известно, к простейшим элементарным функциям относятся следующие:

- полином $y = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n$
- показательная функция $y = a^x$
- логарифм $y = \log_ax$
- тригонометрические функции: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tg x$, $y = \arcsin x$, $y = \arccos x$, $y = \arctg x$

Мне не известно никакого способа определить простейшие элементарные функции иначе, чем перечислив их все. Подозреваю, что такого способа просто нет - нет свойства, присущего всем простейшим элементарным функциям и только им - и само понятие простейшей элементарной функции скорее историческое, чем математическое. Это просто функции, с которыми математики столкнулись в практических задачах. Но если вдруг такой способ есть - поделитесь, мне интересно.

Функция, полученная путем конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, деления, умножения) над простейшими элементарными функциями и суперпозиций этих функций, называется элементарной.

Назовем некоторое множество функций $X$ множеством хороших функций, если каждая функция из этого класса обладает следующими свойствами:

1. Известен алгоритм вычисления функции в любой точке области определения с любой заданной степенью точности.
Этот алгоритм может быть сложным и трудоемким (попробуйте вычислить на бумаге, скажем, $2^\pi$), но с появлением компьютеров нас перестали заботить подобные мелочи. Главное, что он есть.
2. Эта функция дифференцируема в любой точке области определения любое количество раз. Как следствие, она непрерывна, и, значит, интегрируема на любом отрезке из области определения.
3. Производная от функции из класса $X$ есть снова функция из класса $X$, причем известен алгоритм, позволяющий установить, какая именно.

Понятно, что все элементарные функции - хорошие. Но класс всех хороших функций элементарными функциями не исчерпывается. Например, известная в теорвере функция $ y = \int \limits_0^x \exp(-t^2)dt$ - хорошая, но не элементарная.

Кстати, пунктами 1-3 исчерпываются удобные свойства элементарных функций или я что-нибудь забыл? Если забыл, подсказывайте. Я не знаю, например, все ли элементарные функции являются аналитическими.

Назовем некоторое множество функций от любого количества переменных $U$ замкнутым по уравнениям, если выполняется следующее свойство:
пусть $F(a, b, c, ... x)$ - функция из класса $U$, и уравнение относительно $x$ вида $F(a, b, c, ... x) = 0$ имеет $n$ корней. Тогда функции $x_1 = x_1 (a, b, c, ...)$, $x_2 = x_2 (a, b, c, ...)$, ..., $x_n = x_n (a, b, c, ...)$, задающие корни этого уравнения, сами принадлежат классу $U$.

Увы, множество всех элементарных функций по уравнениям не замкнуто. Например, корень уравнения $a^x + b^x = c$, насколько я понимаю, элементарной функцией $x = x(a, b, c)$ не выражается (а если выражается, то покажите мне ее). Что порождает неисчислимые неудобства типа применения численных методов.

Вопрос: известен ли класс хороших функций, включающий все элементарные функции и при этом замкнутый по уравнениям?

Я буду очень счастлив, если мне сейчас скажут, что такой класс есть, и сообщат, как он называется. А если его нет, то какие есть наработки в этом направлении?

[angor6]

Anton_Peplov, насколько я понял из своего опыта изучения математики, "основные элементарные функции" - это действительно произвол. Можно сотворить свой произвол и соответствующую ему теорию функций. Но далеко ли при этом можно уйти?

[Anton_Peplov]

angor6 в сообщении #989943 писал(а):

Можно сотворить свой произвол и соответствующую ему теорию функций. Но далеко ли при этом можно уйти?

Меня интересует как раз не произвол (множества, выделенные перечислением элементов), а предикативные множества (выделенные по свойствам элементов). Предложенное понятие хорошей функции - предикативное.
Всякая элементарная функция - хорошая, но не всякая хорошая - элементарна. Вопрос номер раз - множество всех хороших функций. Ясно, что в него входят, помимо элементарных функций, неопределенные интегралы от них, интегралы от этих интегралов и т.д., а кроме неопределенных, интегралы с переменным верхним пределом. Что еще туда входит?
Но важнее вопрос о множествах, замкнутых по уравнениям и при этом хороших. Ибо за-ко-ле-ба-ли нерешаемые уравнения, возникающие в практических задачах.

[arseniiv]

Anton_Peplov в сообщении #989884 писал(а):

1. Известен алгоритм вычисления функции в любой точке области определения с любой заданной степенью точности.
Этот алгоритм может быть сложным и трудоемким (попробуйте вычислить на бумаге, скажем, $2^\pi$), но с появлением компьютеров нас перестали заботить подобные мелочи. Главное, что он есть.

В любой или всё-таки для вычислимых вещественных чисел?

Anton_Peplov в сообщении #989884 писал(а):

Вопрос: известен ли класс хороших функций, включающий все элементарные функции и при этом замкнутый по уравнениям?

Наверно, стоит уточнить вопрос. Вдруг если взять просто все хорошие функции, они окажутся замкнуты по уравнениям? Но пользы от них всех разом нет, потому что вряд ли их можно будет выразить композицией конечного числа функций многих переменных и констант, тут уже всех вещественнозначных (иначе мы даже элементарные функции не выразим). Класс поменьше тоже может обладать таким неудобным свойством.

[Anton_Peplov]

arseniiv в сообщении #990052 писал(а):

В любой или всё-таки для вычислимых вещественных чисел?

Во всех рациональных числах. На практике этого достаточно. Любое действительное число мы при вычислениях обрываем на некотором знаке после запятой, тем самым заменяя его более или менее близким к нему рациональным.

arseniiv в сообщении #990052 писал(а):

Наверно, стоит уточнить вопрос. Вдруг если взять просто все хорошие функции, они окажутся замкнуты по уравнениям? Но пользы от них всех разом нет, потому что вряд ли их можно будет выразить композицией конечного числа функций многих переменных и констант, тут уже всех вещественнозначных (иначе мы даже элементарные функции не выразим). Класс поменьше тоже может обладать таким неудобным свойством.

Назовем две функции подобными, если они совпадают или отличаются только коэффициентами. Например, подобны $y = x^2$ и $y = x^3$, $y = \log_2 x$ и $y = \log_3 x$. Очевидно, отношение подобия рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. любое множество функций распадается на классы подобных друг другу функций.
Множество всех элементарных функций континуально (например, одних только прямых $y = ax$ континуум, т.к. каждое действительное значение $a$ образует свою прямую), но во множестве всех элементарных функций счетное число классов подобия. В символических вычислениях мы можем не различать подобные функции, а в численных расчетах вместо коэффициентов подставляются рациональные числа. Поэтому с классом всех элементарных функций можно работать.

Меня интересует такое множество хороших замкнутых по уравнениям функций, в котором счетное число классов подобия. С ним тоже можно будет работать.

[Nemiroff]

Anton_Peplov в сообщении #989884 писал(а):

Вопрос: известен ли класс хороших функций, включающий все элементарные функции и при этом замкнутый по уравнениям?

А что, корень полинома как функция его коэффициентов — хорошая функция?

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #989884 писал(а):

Назовем некоторое множество функций $X$ множеством хороших функций, если каждая функция из этого класса обладает следующими свойствами:

1. Известен алгоритм вычисления функции в любой точке области определения с любой заданной степенью точности.
Этот алгоритм может быть сложным и трудоемким (попробуйте вычислить на бумаге, скажем, $2^\pi$), но с появлением компьютеров нас перестали заботить подобные мелочи. Главное, что он есть.
2. Эта функция дифференцируема в любой точке области определения любое количество раз. Как следствие, она непрерывна, и, значит, интегрируема на любом отрезке из области определения.
3. Производная от функции из класса $X$ есть снова функция из класса $X$, причем известен алгоритм, позволяющий установить, какая именно.

Понятно, что все элементарные функции - хорошие.

Функция $y=\arcsin (1-(x-1)^2)$ плохая. В точке 1 недифференцируема.

-- Сб мар 14, 2015 09:26:25 --

Правда, это можно исправить, условившись к множеству задания основных элементарных функций относить только внутренние точки. То есть, например, считать, что $\arcsin 1$ не определено.

[Anton_Peplov]

Nemiroff в сообщении #990081 писал(а):

А что, корень полинома как функция его коэффициентов — хорошая функция?

Хороший вопрос. Может быть, и плохая. Вам точно известно, что в общем случае плохая, это доказано?

[Nemiroff]

Ну в случае простых корней там конечно дифференцируемо, меня смущают кратные корни. Даже у параболы — квадратный корень. Дифференцируемость в нуле?

[Anton_Peplov]

Nemiroff в сообщении #990097 писал(а):

Даже у параболы — квадратный корень. Дифференцируемость в нуле?

Что-то не пойму Вашей мысли. Что с кратными корнями не так?
Может быть, Вы имеете в виду комплексные корни?

[Nemiroff]

Ну вот $x^2-a$. Как только корень становится кратным, начинается ад, потому что $x_1=\sqrt{a}$ в нуле очень плохо дифференцируется.

[upgrade]

хорошие - у которых обратная функция легко выводится.

[Anton_Peplov]

Nemiroff в сообщении #990105 писал(а):

Ну вот $x^2-a$

Понял. Элементарная функция $y = \sqrt x$ не имеет (конечной) производной в точке $x = 0$ и поэтому не является хорошей функцией.

Похоже, определение хорошей функции надо доработать напильником в части дифференцируемости. Скажем, положить, что хорошая функция дифференцируема почти всюду в области определения (т.е. всюду, кроме множества меры нуль).

[Sonic86]

Anton_Peplov, можете заглянуть в упомянутую книгу, вдруг пригодится

Brukvalub в сообщении #995670 писал(а):

С элементами теории можно ознакомиться, например, по этой книге.

Тут, правда, рассматривается обращение только алгебраических уравнений.

[Anton_Peplov]

Sonic86 в сообщении #995676 писал(а):

можете заглянуть в упомянутую книгу, вдруг пригодится

Спасибо.