2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 01:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Так чтобы физикам новую букву придумать для обозначения решения какого то диффура им не обязательно знать, лежит ли это решение в каком то странном классе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
kp9r4d в сообщении #998733 писал(а):
Так чтобы физикам новую букву придумать для обозначения решения какого то диффура им не обязательно знать, лежит ли это решение в каком то странном классе.

Букву придумать просто. Труднее понять, что с этой буквой делать дальше.
Вот хорошие функции - они почти всюду дифференцируемы, причем есть алгоритм, возвращающий производную как функцию (а не просто значение производной в точке). Это значит, что их легко исследовать на экстремумы, перегибы и прочее поведение. В ряд Тейлора разлагать, чтобы пренебречь малыми членами. Составлять новые дифуры.
А вот что делать с придуманной буквой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 10:02 


04/06/12
393
Для того чтобы работать с функцией, совсем не обязательно знать её явный вид.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Terraniux в сообщении #998801 писал(а):
Для того чтобы работать с функцией, совсем не обязательно знать её явный вид.


Не обязательно. Существует т.н. качественная теория дифференциальных уравнений, которая исследует свойства решений, не находя их. Но, насколько я понимаю, хватает уравнений, с которыми она не справляется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 15:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Да мне вот больше непонятно что такое этот вот "явный вид". Вот хорошо, с тем, что полиномы должны быть в вашем классе вы согласились, рассмотрим функцию $F$ которая отображает многочлен в множество его корней. Она гладко зависит от коэффициентов (по крайней мере, пока все корни различны), вот абстрактному физику нужны корни уравнения $x^7 + x + 1 = 0$, вот он идёт такой и берёт нашу функцию $F$ из вашего класса. Он знает про то, что она гладкая, а следовательно дифференцируемая и интегрируемая, знает про то, что она вычислима, делает вывод, что все интегралы и производные от этой функции тоже должны лежать в вашем классе. Ну и чего он с ней дальше делать будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
kp9r4d в сообщении #998911 писал(а):
Ну и чего он с ней дальше делать будет?


Если ему нужны только корни уравнения (как число), то ему и функция эта не нужна, можно решить уравнение численно. А вот если исследовал мудрый физик зависимость лохматости $x$ абстрактных лямзиков от времени $t$. То ли возрастает она со временем, то ли убывает, а то ли имеет участки и возрастания и убывания; то ли уходит она в бесконечность при возрастании $t$, а то ли ограничена; то ли периодична, а то ли... И нашел он путем хитрых преобразований, что $tx^7 + tx + t = 0$ (лохматость абстрактных лямзиков - величина безразмерная). Ну и как ему ответить на свои вопросы о функции $x = x(t)$? Можно сделать много-много численных решений при разных значениях $t$ и начертить примерный график, но... Все "но" Вы можете назвать и сами. А вот пошел он в заветный класс, и взял функцию $x = x(t)$, и продифференцировал ее, и приравнял производную нулю...
И жили они долго и счастливо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Ну опять же непонятно что значит "взял". В вашем классе (если он существует) функция $x=x(t)$ лежит, это мы доказали, ибо он гладкая, дифференцируемая, интегрируемая, вычислимая и является обратной к многочлену (это мы тоже доказали). Как её можно "взять"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Anton_Peplov в сообщении #990074 писал(а):
Назовем две функции подобными, если они совпадают или отличаются только коэффициентами. Например, подобны $y = x^2$ и $y = x^3$, $y = \log_2 x$ и $y = \log_3 x$. Очевидно, отношение подобия рефлексивно, симметрично и транзитивно, т.е. любое множество функций распадается на классы подобных друг другу функций.
Множество всех элементарных функций континуально (например, одних только прямых $y = ax$ континуум, т.к. каждое действительное значение $a$ образует свою прямую), но во множестве всех элементарных функций счетное число классов подобия. В символических вычислениях мы можем не различать подобные функции, а в численных расчетах вместо коэффициентов подставляются рациональные числа. Поэтому с классом всех элементарных функций можно работать.

Меня интересует такое множество хороших замкнутых по уравнениям функций, в котором счетное число классов подобия. С ним тоже можно будет работать.


Итак, в нашем гипотетическом множестве:
1. Счетное число классов подобия.
2. Каждый класс подобия закодирован фразой конечного алфавита (как фраза $y = \log_a x$ кодирует класс подобия логарифмических функций).
3. Существует алгоритм, который по классу подобия функции возвращает класс подобия ее производной (для элементарных функций такой алгоритм есть, он сводится к таблице производных и правилам дифференцирования).
"Взять" функцию - найти символическую запись ее класса подобия. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ такая запись, например, $x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Далее можно дифференцировать эти $x = x(a, b, c)$ и вообще делать с ними что угодно.
Другой вопрос - а как по уравнению найти запись функции, выражающей его решение? В самом общем виде такая проблема, увы, алгоритмически неразрешима. Что не исключает существования алгоритмов для достаточно широкого класса уравнений. В частности, алгоритма, который по уравнению $tx^2 + tx + t = 0$ выдает символическую запись функции $x = x(t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 18:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Anton_Peplov в сообщении #998978 писал(а):
1. Счетное число классов подобия.

Я не понял, что такое "класс подобия"? В классе подобия $x^2$ какие ещё функции лежат?
Anton_Peplov в сообщении #998978 писал(а):
2. Каждый класс подобия закодирован фразой конечного алфавита (как фраза $y = \log_a x$ кодирует класс подобия логарифмических функций).

Константы у вас хорошие функции? А вот их нельзя.
Anton_Peplov в сообщении #998978 писал(а):
"Взять" функцию - найти символическую запись ее класса подобия

Что такое "символическая запись"?

Это ещё вопросов всякой "вычислимости" если не касаться. Как известно, любая попытка определить понятие вычислимой функции таким образом, чтобы каждая $f(n)$ была определена при любом $n$, а множество всех $f(n)$ оставалось счётным - заведомо провальная.

-- 01.04.2015, 17:37 --

Прошу прощения, невнимательно прочитал цитату. Но она всё равно непонятная. У вас все функции непрерывные, значит их континуум, закодируем каждую функцию из вашего класса вещественным числом, и пусть $\Gamma_\alpha$ - функция под номером $\alpha$ из вашего класса, выходит все функции подобные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 19:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):
В классе подобия $x^2$ какие ещё функции лежат?

В классе подобия функции $y = x^2$ лежат функции $y = x^3$, $y = x^4$ и вообще любая $y = x^n$. Правда, туда попадает и $y = x$, которая, с другой стороны, попадает в класс $y = kx$ вместе с $y = 2x$, $y = 3x$ и т.д. Значит, классы подобия могут пересекаться, т.е. с транзитивностью отношения подобия я погорячился. Но неочевидно, что это помешает. А если помешает, то надо подумать, как переопределить классы подобия.

kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):
Что такое "символическая запись"?


Символической записью класса подобия для функций $y = x^3$, $y = x^4$ и т.д. является "$y = x^n$". Вот этот набор четырех символов: "y", "x", "^", "n", записанных друг за другом.

kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):
Константы у вас хорошие функции? А вот их нельзя.


Все константы входят в один и тот же класс подобия. Закодировать этот класс подобия можно, например, записью "$y = c$".


kp9r4d в сообщении #998995 писал(а):
Как известно, любая попытка определить понятие вычислимой функции таким образом, чтобы каждая $f(n)$ была определена при любом $n$, а множество всех $f(n)$ оставалось счётным - заведомо провальная.


А кто тут пытается переопределить понятие вычислимой функции или рассмотреть множество всех вычислимых функций? Меня не всякая вычислимая функция интересует. У Вас к вычислимости элементарных функций с рациональными коэффициентами во всех рациональных точках претензии есть? Если их нет, то откуда они возьмутся для искомого класса функций? А в случае иррациональных точек или коэффициентов мы все равно обрываем их на некотором знаке после запятой, тем самым заменяя рациональными.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 19:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Да ну эти классы подобия. Я же, вроде, уже предложил взять термы от данного множества функций многих переменных и переменных. Потом вместо любого множества переменных можно подставить любые вещественные константы. В результате хотя и нет гарантии, что термы порождают непересекающиеся классы функций, но зато прозрачно, откуда и как эти классы получаются. А вот нужно ли уметь определять все классы, которым принадлежит данная функция — сомнительно.

Например, терм $x$ ($x$ — переменная) порождает функцию $x\mapsto x$ и континуум функций $x\mapsto c,c\in\mathbb R$, а терм $x+y$ порождает функции $(x,y)\mapsto x+y$, $(x,y)\mapsto x+c$, $(x,y)\mapsto c+y$, $(x,y)\mapsto c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Хорошие и плохие функции
Сообщение01.04.2015, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
arseniiv в сообщении #999025 писал(а):
Я же, вроде, уже предложил взять термы от данного множества функций многих переменных и переменных. Потом вместо любого множества переменных можно подставить любые вещественные константы.


Да, это то что нужно, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group