Некорректность в определении группы

[Padawan]

Возьмем стандартное определение группы:
Пара $(G,*)$, где $G$ -- непустое множество, а $*\colon G\times G\to G$ -- бинарная операция на $G$, называется группой, если
1. $(x*y)*z=x*(y*z)$ для любых $x,y,z\in G$
2. Существует элемент $e\in G$, такой, что $e*x=x*e=x$ для любого $x\in G$
3. Для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $x*y=y*x=e$

Это определение некорректно, т.к. формально не понятно, что такое $e$ в условии 3.

Либо надо рассматривать вместо пары тройку $(G,*,e)$, либо условия 2,3 заменить одним условием:

Пара $(G,*)$, где $G$ -- непустое множество, а $*\colon G\times G\to G$ -- бинарная операция на $G$, называется группой, если
1. $(x*y)*z=x*(y*z)$ для любых $x,y,z\in G$
2. Существует элемент $e\in G$, такой, что
2а. $e*x=x*e=x$ для любого $x\in G$
2б. для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $x*y=y*x=e$

Я прав?

[AGu]

Padawan в сообщении #989809 писал(а):

Я прав?

Да.

[Brukvalub]

Padawan в сообщении #989809 писал(а):

...

Это определение некорректно, т.к. формально не понятно, что такое $e$ в условии 3.
....
Я прав?

Кому это непонятно? Мне - понятно.

[AGu]

Но я предпочитаю давать определение группы «постепенно». Сначала мы доказываем, что элемент $e$ определяется вторым условием однозначно:

$(\forall\, x)(e*x=x)\land (\forall\, x)(x*f=x)\ \Rightarrow\ e = e*f = f$,

потом вводим для такого элемента обозначение (формально это означает введение константы, подкрепленное консервативным расширением аксиоматики), ну а потом уже возникает третье условие. Кстати, отсюда становится понятно, что в третьем условии можно формально говорить о любом $e$, удовлетворяющем второму условию (ибо такой $e$ один).

[NSKuber]

Brukvalub в сообщении #989818 писал(а):

Кому это непонятно? Мне - понятно.

Вам - понятно, а формально - действительно некорректно.
Возьмём, допустим, такую группу - $(\mathbb{Z}_4, \ast) $ (умножение по модулю 4). Ассоциативность есть, единица есть, но когда дело дойдёт до третьей аксиомы, я могу взять в качестве этого некоторого $e$ нолик и радостно говорить, что для любого $x\inG$ я найду $y$ такой, что $xy = 0$. В то же время обратного в привычном смысле у двойки нет.
Когда определяют вслух, наверняка замечают, что в третьей аксиоме имеется в виду тот же элемент, что и во второй.
А в именно таком сухом письменном виде - некорректность получается.

[Padawan]

AGu
То есть мы стараемся определить объект, используя минимум свойств? В этом идея Вашего подхода?

-- Пт мар 13, 2015 21:07:20 --

AGu в сообщении #989826 писал(а):

(формально это означает введение константы, подкрепленное консервативным расширением аксиоматики)

А где про эти понятия можно почитать?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Вопросы преподавания»
Причина переноса: просьба ТС.

[AGu]

Padawan в сообщении #989834 писал(а):

То есть мы стараемся определить объект, используя минимум свойств? В этом идея Вашего подхода?

Ну и это тоже. При таком подходе сразу куча зайцев одомашнивается: и неформальность устраняется, и совпадение левой и правой единичек устанавливается, и константа вводится, и вообще народ становится умнее.

Padawan в сообщении #989834 писал(а):

AGu в сообщении #989826 писал(а):

формально это означает введение константы, подкрепленное консервативным расширением аксиоматики

А где про эти понятия можно почитать?

Эээ... Ну, в этой, как ее, в логике. Это если совсем уж занудного формализма хочется. Консервативное расширение теории — это теория с расширенной сигнатурой (в данном случае — новой константой) и расширенной аксиоматикой (в данном случае — определением этой константы), в которой любая теорема исходной сигнатуры является теоремой исходной теории. Более того, это расширение является элиминируемым: для любой формулы расширенной сигнатуры существует (алгоритмически определяемая) формула исходной сигнатуры, равносильная первой формуле в расширенной теории. Это все детские игрушки, связанные с определимостью по Бету и аналогичными вещами. Обычно до этого занудства никто не опускается. Типа, фольклор. Смышленые зануды сами себя обслужат, если захотят.

[Munin]

Padawan в сообщении #989809 писал(а):

либо условия 2,3 заменить одним условием

Фактически именно в этом смысле условия 2, 3 и понимаются.

Представьте себе, что вы должны наложить $N$ условий. При этом в условии $k$ у вас появляется (с квантором существования) определение одного нового понятия, в условии $m$ - другого нового понятия, и т. д.

Если подходить строго формально, по-вашему, то следовало бы все условия после $k$ включительно свести в одно большое условие с подпунктами, в нём все подусловия после $m$ включительно - ещё в одно с подподпунктами, и так далее. Чисто с неформально-разговорной стороны, это неудобно. Удобнее все условия перечислять как одноранговый список. Но он получается частично упорядоченный - что ж, не беда, и перейти от него к формально верному не составляет труда.

-- 13.03.2015 19:10:08 --

AGu в сообщении #989826 писал(а):

Кстати, отсюда становится понятно, что в третьем условии можно формально говорить о любом $e$, удовлетворяющем второму условию (ибо такой $e$ один).

То есть, третье условие можно переформулировать так?

3. Для любого $x\in G$ существует элемент $y\in G$ такой, что $\forall\,e\,\,\bigl((e*x=x*e=x)\quad\Rightarrow\quad(x*y=y*x=e)\bigr)$

[arseniiv]

.

[AGu]

Munin в сообщении #989861 писал(а):

То есть, третье условие можно переформулировать так?

Нет, так нельзя. (Там кванторы переплелись и второе условие потерялось.) Надо так:

$(\forall\,x)(\exists\,y)(\forall\,e)\bigl((\forall\,z)(e*z=z*e=z)\ \Rightarrow\ x*y=y*x=e\bigr)$

или, например, так:

$(\forall\,e)\bigl((\forall\,z)(e*z=z*e=z)\ \Rightarrow\ (\forall\,x)(\exists\,y)(x*y=y*x=e)\bigr)$

P.S. Да ладно вам. К чему это все? Не студентов же пугать, в самом деле? Даже если они вас поймут, они вас не поймут. Главное — мы знаем, что при желании все это можно сделать строго формальным, и даже знаем, как это сделать. Но делать это на самом деле не обязательно и, как подсказывает печальный опыт сороконожки, даже вредно.

[arseniiv]

Да, я тут действительно поспешил.

[Brukvalub]

NSKuber в сообщении #989831 писал(а):

Brukvalub в сообщении #989818 писал(а):

Кому это непонятно? Мне - понятно.

Вам - понятно, а формально - действительно некорректно.
Возьмём, допустим, такую группу - $(\mathbb{Z}_4, \ast) $ (умножение по модулю 4). Ассоциативность есть, единица есть, но когда дело дойдёт до третьей аксиомы, я могу взять в качестве этого некоторого $e$ нолик и радостно говорить, что для любого $x\inG$ я найду $y$ такой, что $xy = 0$. В то же время обратного в привычном смысле у двойки нет.
Когда определяют вслух, наверняка замечают, что в третьей аксиоме имеется в виду тот же элемент, что и во второй.
А в именно таком сухом письменном виде - некорректность получается.

Хорошо бы посмотреть, каким указом определение группы требуется записывать "в именно таком сухом письменном виде". Мало ли кто что напишет. Например, С. Ленг в "Алгебре" еще при определении моноида четко закрепляет за символом $e$ обозначение единицы моноида, а далее в определении группы нигде уже это дополнительно не оговаривает, и всем все понятно. Да и в п. 2 текста ТС ясно написано, что $e$ - это единица группы, а не что-нибудь другое.

[Padawan]

Brukvalub в сообщении #989886 писал(а):

Да и в п. 2 текста ТС ясно написано, что $e$ - это единица группы, а не что-нибудь другое.

Переменная $e$ находится под квантором, и её можно заменить любой другой буквой. Так что она не имеет никакого отношения к непонятно что значащему $e$ в условии 3.

[Brukvalub]

Выбываю из спора, оставаясь при мнении, что это спор "тупоконечников с остроконечником".