Поле направлений

[fronnya]

Имеется обыкновенное дифференциальное уравнение вида $y'=f(x,y)$. Предположим, что в некоторой области существует интегральные кривые, соответствующие этому уравнению, если через каждую точку этой области провести единичный отрезок под углом $\varphi=\arctg{f(x,y)}$, то этот отрезок окажется касательной к интегральной кривой в данной точке. Вопрос такой: если мы построим много таких отрезков, т.е. поле направлений, то мы сможем таким образом восстановить интегральную кривую?

[VanD]

Для таких трюков надо как минимум иметь представление о качественной картине. Например, если Вы откуда-то узнали, что все фазовые траектории - простые замкнутые кривые, то можно построить неплохой фазовый портрет. Ну а если дополнительной информации нет, то всё что Вы построите будет как минимум необоснованно, как максимум неверно, так как отличить хорошее семейство спиралей от окружностей только по отрезкам касательных довольно проблематично.

[Oleg Zubelevich]

fronnya в сообщении #989595 писал(а):

Вопрос такой: если мы построим много таких отрезков, т.е. поле направлений, то мы сможем таким образом восстановить интегральную кривую?

если знать к какой точке привязан каждый отрезок, то, да, сможем. еще семейство отрезков должно быть гладким

[Brukvalub]

Такой метод рисования эскизов интегральных кривых даже свое название имеет: "Метод изоклин", то есть касательных одинакового направления.

[fronnya]

А где можно почитать о методе изоклин?

[svv]

Вот здесь:
http://dxdy.ru/post989595.html#p989595
Вы ведь его нормально описали. Нужно только заменить вопросительный знак на точку.

[fronnya]

svv в сообщении #990215 писал(а):

Вот здесь:
http://dxdy.ru/post989595.html#p989595
Вы ведь его нормально описали. Нужно только заменить вопросительный знак на точку.

-- 14.03.2015, 13:44 --

Да ну. Есть ведь уравнения, не разрешаемые относительно производной.

-- 14.03.2015, 13:46 --

Или этот метод применим лишь к уравнениям, разрешенным относительно производной? Либо есть все таки какие-то фишки типа замен переменных и тд ?

[svv]

Мышкис, Лекции по высшей математике. (Предупреждаю — книга для физиков.)
В случае уравнения, не разрешенного относительно производной, Вы просто имеете уравнение для изоклины $F(x, y, k)=0$ вместо написанного.

[fronnya]

svv в сообщении #990220 писал(а):

(Предупреждаю — книга для физиков.)

И это просто прелестно, я учусь на физфаке.