2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Поле направлений
Сообщение13.03.2015, 03:15 
Аватара пользователя
Имеется обыкновенное дифференциальное уравнение вида $y'=f(x,y)$. Предположим, что в некоторой области существует интегральные кривые, соответствующие этому уравнению, если через каждую точку этой области провести единичный отрезок под углом $\varphi=\arctg{f(x,y)}$, то этот отрезок окажется касательной к интегральной кривой в данной точке. Вопрос такой: если мы построим много таких отрезков, т.е. поле направлений, то мы сможем таким образом восстановить интегральную кривую?

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение13.03.2015, 10:57 
Для таких трюков надо как минимум иметь представление о качественной картине. Например, если Вы откуда-то узнали, что все фазовые траектории - простые замкнутые кривые, то можно построить неплохой фазовый портрет. Ну а если дополнительной информации нет, то всё что Вы построите будет как минимум необоснованно, как максимум неверно, так как отличить хорошее семейство спиралей от окружностей только по отрезкам касательных довольно проблематично.

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение13.03.2015, 11:06 
fronnya в сообщении #989595 писал(а):
Вопрос такой: если мы построим много таких отрезков, т.е. поле направлений, то мы сможем таким образом восстановить интегральную кривую?

если знать к какой точке привязан каждый отрезок, то, да, сможем. еще семейство отрезков должно быть гладким

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение13.03.2015, 11:18 
Аватара пользователя
Такой метод рисования эскизов интегральных кривых даже свое название имеет: "Метод изоклин", то есть касательных одинакового направления.

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение14.03.2015, 13:07 
Аватара пользователя
А где можно почитать о методе изоклин?

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение14.03.2015, 14:32 
Аватара пользователя
Вот здесь:
http://dxdy.ru/post989595.html#p989595
Вы ведь его нормально описали. Нужно только заменить вопросительный знак на точку. :-)

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение14.03.2015, 14:43 
Аватара пользователя
svv в сообщении #990215 писал(а):
Вот здесь:
http://dxdy.ru/post989595.html#p989595
Вы ведь его нормально описали. Нужно только заменить вопросительный знак на точку. :-)

:lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:

-- 14.03.2015, 13:44 --

Да ну. Есть ведь уравнения, не разрешаемые относительно производной.

-- 14.03.2015, 13:46 --

Или этот метод применим лишь к уравнениям, разрешенным относительно производной? Либо есть все таки какие-то фишки типа замен переменных и тд ?

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение14.03.2015, 14:55 
Аватара пользователя
Изображение
Мышкис, Лекции по высшей математике. (Предупреждаю — книга для физиков.)
В случае уравнения, не разрешенного относительно производной, Вы просто имеете уравнение для изоклины $F(x, y, k)=0$ вместо написанного.

 
 
 
 Re: Поле направлений
Сообщение14.03.2015, 15:45 
Аватара пользователя
svv в сообщении #990220 писал(а):
Изображение
(Предупреждаю — книга для физиков.)

И это просто прелестно, я учусь на физфаке.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group