Система дифф. уравнений, спираль

[Pphantom]

Вы же уже ввели переобозначения, с ними все существенно проще...

[MestnyBomzh]

Аа. Я, кажись, понял.
Полная энергия: $\frac{k_a \sqrt{(x_a-x)^2+(y_a-y)^2}}{2}+\frac{k_b \sqrt{(x_b-x)^2+(y_b-y)^2}}{2}+\frac{k_c \sqrt{(x_c-x)^2+(y_c-y)^2}}{2}$ принимает наименьшее значение в точке (0;0). Только, как я здесь понимаю, $x_a,x_b,x_c$ - это уже координаты в новом базисе должны быть? В изначальной задаче это точки на плоскости

[Pphantom]

MestnyBomzh в сообщении #989082 писал(а):

Полная энергия: $\frac{k_a \sqrt{(x_a-x)^2+(y_a-y)^2}}{2}+\frac{k_b \sqrt{(x_b-x)^2+(y_b-y)^2}}{2}+\frac{k_c \sqrt{(x_c-x)^2+(y_c-y)^2}}{2}$ принимает наименьшее значение в точке (0;0). Только, как я здесь понимаю, $x_a,x_b,x_c$ - это уже координаты в новом базисе должны быть?

Совершенно верно.

[MestnyBomzh]

а минимум по кинетич энергии не надо смотреть? я так понимаю, $E_k \to 0$, но не могу объяснить почему скорость будет стремиться к нулю

[Pphantom]

В системе есть только консервативные и дисспативные силы. Соответственно, полная механическая энергия системы при ее эволюции не может возрастать (а наличие диссипации означает, что и строго убывает при движении со скоростью, отличной от нуля). Поскольку полная механическая энергия $E$ равна сумме кинетической $W$ и потенциальной $\Phi$, а кинетическая энергия всегда неотрицательна, то отсюда следует, что в каждый момент времени доступная для движения область определяется условием $\Phi \leqslant E$. Поэтому в результате уменьшения $E$ система обязана рано или поздно свалиться в локальный минимум потенциальной энергии, а такая точка тут единственная и Вы ее уже знаете.

[MestnyBomzh]

Но смотрите, у нас общая энергия: $W + \Phi$. Эта сумма убывает, так как часть ее отдается на работу силы трения. Но почему на силу трения не может отдаваться полностью кинетическая энергия? То есть вся кинетич энергия потрачена и тело останавливается, хотя и обладает потенциальной энергией. Почему такой случай невозможен?

[Ms-dos4]

MestnyBomzh
Такое может быть только в системах с сухим трением. Когда трение пропорционально скорости (т.е. вязкое), такое невозможно.

[MestnyBomzh]

Ms-dos4
Правильно ли я понимаю, что проекция трения пропорциональна скорости?

[MestnyBomzh]

А Вы не могли бы привести пример с сухим трением?

-- 12.03.2015, 08:50 --

И где вообще про это можно почитать? А то мне "вязкого" скольжения недостаточно)

[Ms-dos4]

MestnyBomzh
Проекция тут при чём?
По теории колебаний советую Андронов, Витт, Хайкин "Теория колебаний". В т.ч. там есть и осциллятор с сухим трением.

[MestnyBomzh]

Ms-dos4
Как я понял, основная идея вязкого трения в том, что оно зависит от скорости. Но если скорость станет равной нулю, то и сила трения нулевая. Так почему такого не может произойти?

[ИСН]

Потому что везде, кроме минимума, на тело будут действовать какие-то силы, и оно не останется лежать просто так.

[MestnyBomzh]

ИСН
Но смотрите, силы упругости могут компенсировать друг друга. Например, если они угол между ними 180 градусов. А может быть такое, что сила трения просто в некоторый момент превысит результирующую упругостей и тогда тело остановится. Почему это неверно?

[ИСН]

MestnyBomzh в сообщении #989268 писал(а):

Но смотрите, силы упругости могут компенсировать друг друга. Например, если они угол между ними 180 градусов.

Такая точка называется минимум. (Или максимум, или седло.)

MestnyBomzh в сообщении #989268 писал(а):

А может быть такое, что сила трения просто в некоторый момент превысит результирующую упругостей и тогда тело остановится.

Такое трение (не зависящее от скорости) называется "сухое трение".

[MestnyBomzh]

ИСН
аа, я понял. Если $v \to 0$, то $F \to 0$. А это означает, что у нас останутся только силы пружин уже без трения, которые заставят тело двигаться вновь?

-- 12.03.2015, 18:38 --

А единственная точка, в которой силы упругости компенсируют друг друга это $(0;0)$, поэтому туда все и идет?