Задача на площадь

[integral2009]

Дан четырехугольника $ABCD$, доказать, что площадь четырехугольника, соединяющего середины сторон данного четырехугольника равна половине площади $ABCD$.

Четырехугольник, соединяющий середины сторон $ABCD$ является параллелограммом по теореме Вариньона. Если $ABCD$ -- выпуклый четырехугольник, то все просто, там через подобные треугольники и средние линии. Но как в невыпуклом четырехугольнике?
Там тоже будет пар-м. Причем $S_{AHE}+S_{FGC}=0,5S_{ABCD}$. А как дальше?

[gris]

А если $A$ соединить с $C$?

[integral2009]

gris в сообщении #988830 писал(а):

А если $A$ соединить с $C$?

$EF$ и $HG$ будут средними линиями тогда. Я в эту сторону думал. И пытался использовать то, что средняя линия отсекает треугольник в четыре раза меньший по площади. Но ничего не вышло(

[provincialka]

integral2009 в сообщении #988836 писал(а):

Но ничего не вышло(

Странно! Там все хорошо получается. $S_{HDG}=\frac14(S_{ADC})=\frac14(S_{ABCD}+S_{ABC})$

[integral2009]

Спасибо!

$S_{HDG}=\frac14(S_{ADC})=\frac14(S_{ABCD}+S_{ABC})$

$S_{HDG}=\frac14(S_{ADC})=\frac14(S_{ABCD}+4S_{BEF})$

$S_{HEFG}=S_{ADC}-S_{GDH}-S_{AEFC}-(S_{AHE}+S_{FGC})$

Так как $S_{AHE}+S_{FGC}=\dfrac{S_{ABCD}}{4}$

Тогда $S_{HEFG}=S_{ADC}-0,25S_{ADC}-0,75S_{ABC}-0,25S_{ABCD}$

Тогда $S_{HEFG}=0,75(S_{ADC}-S_{ABC})-0,25S_{ABCD}$

Тогда $S_{HEFG}=0,75(S_{ABCD})-0,25S_{ABCD}=0,5S_{ABCD}$ чтд