2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 16:27 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Здравствуйте. Спустя многое время, уже давно после всех сданных экзаменов, у меня возник вопрос о некоторых пространствах Соболева, а именно, $W^{1,p}_{0}(\Omega)$. По определению, это замыкание пространства $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ по норме $\left\|u\right\|_{W^{1,p}(\Omega)}$. Но у $W^{1,p}(\Omega)$, как известно, несколько эквивалентных норм, а при желании можно придумать сколько угодно. Тогда возникает вопрос, а верно ли, что замыкание $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ по каждой из этих норм даёт одно и то же пространство? Ответ интуитивно положительный, но нигде не встречал доказательства этого факта. Помогите, пожалуйста, разобраться

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 16:34 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Эквивалентность норм равносильна совпадению соответствующих топологий, а замыкание — понятие топологическое. Стало быть, если заменить норму на эквивалентную, то замыкание не изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 16:38 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
AGu
Спасибо, я так и подозревал, но изучал эти все понятия без привлечения топологической строгости, в этом беда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
А как? Через сходимость последовательностей? Так она тоже не зависит от замены нормы на эквивалентную.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 01:52 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
Просто связь топологии и функана для меня -- вообще трудно переходимая грань :)

Эквивалентность излагали на языке двойного неравенства. Хотя я только недавно узнал, что это -- равномерная эквивалентность, а предшествует ей топологическая эквивалентность

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
cool.phenon
А как замыкание определялось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 18:12 
Аватара пользователя


12/05/12
604
Оттуда
ex-math
Как множество и все его предельные точки, как у всех :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Тогда из Ваших определений легко следует, что предельные точки будут одни и те же, если взять эквивалентные нормы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group