Пространство Соболева

[cool.phenon]

Здравствуйте. Спустя многое время, уже давно после всех сданных экзаменов, у меня возник вопрос о некоторых пространствах Соболева, а именно, $W^{1,p}_{0}(\Omega)$. По определению, это замыкание пространства $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ по норме $\left\|u\right\|_{W^{1,p}(\Omega)}$. Но у $W^{1,p}(\Omega)$, как известно, несколько эквивалентных норм, а при желании можно придумать сколько угодно. Тогда возникает вопрос, а верно ли, что замыкание $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ по каждой из этих норм даёт одно и то же пространство? Ответ интуитивно положительный, но нигде не встречал доказательства этого факта. Помогите, пожалуйста, разобраться

[AGu]

Эквивалентность норм равносильна совпадению соответствующих топологий, а замыкание — понятие топологическое. Стало быть, если заменить норму на эквивалентную, то замыкание не изменится.

[cool.phenon]

AGu
Спасибо, я так и подозревал, но изучал эти все понятия без привлечения топологической строгости, в этом беда.

[ex-math]

А как? Через сходимость последовательностей? Так она тоже не зависит от замены нормы на эквивалентную.

[cool.phenon]

Просто связь топологии и функана для меня -- вообще трудно переходимая грань :)

Эквивалентность излагали на языке двойного неравенства. Хотя я только недавно узнал, что это -- равномерная эквивалентность, а предшествует ей топологическая эквивалентность

[ex-math]

cool.phenon
А как замыкание определялось?

[cool.phenon]

ex-math
Как множество и все его предельные точки, как у всех :)

[ex-math]

Тогда из Ваших определений легко следует, что предельные точки будут одни и те же, если взять эквивалентные нормы.