2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 16:27 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Спустя многое время, уже давно после всех сданных экзаменов, у меня возник вопрос о некоторых пространствах Соболева, а именно, $W^{1,p}_{0}(\Omega)$. По определению, это замыкание пространства $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ по норме $\left\|u\right\|_{W^{1,p}(\Omega)}$. Но у $W^{1,p}(\Omega)$, как известно, несколько эквивалентных норм, а при желании можно придумать сколько угодно. Тогда возникает вопрос, а верно ли, что замыкание $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ по каждой из этих норм даёт одно и то же пространство? Ответ интуитивно положительный, но нигде не встречал доказательства этого факта. Помогите, пожалуйста, разобраться

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 16:34 
Эквивалентность норм равносильна совпадению соответствующих топологий, а замыкание — понятие топологическое. Стало быть, если заменить норму на эквивалентную, то замыкание не изменится.

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 16:38 
Аватара пользователя
AGu
Спасибо, я так и подозревал, но изучал эти все понятия без привлечения топологической строгости, в этом беда.

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение09.03.2015, 21:32 
Аватара пользователя
А как? Через сходимость последовательностей? Так она тоже не зависит от замены нормы на эквивалентную.

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 01:52 
Аватара пользователя
Просто связь топологии и функана для меня -- вообще трудно переходимая грань :)

Эквивалентность излагали на языке двойного неравенства. Хотя я только недавно узнал, что это -- равномерная эквивалентность, а предшествует ей топологическая эквивалентность

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 09:21 
Аватара пользователя
cool.phenon
А как замыкание определялось?

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 18:12 
Аватара пользователя
ex-math
Как множество и все его предельные точки, как у всех :)

 
 
 
 Re: Пространство Соболева
Сообщение10.03.2015, 22:39 
Аватара пользователя
Тогда из Ваших определений легко следует, что предельные точки будут одни и те же, если взять эквивалентные нормы.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group