Показательно-логарифмическое неравенство.

[mihailm]

lantza в сообщении #988377 писал(а):

...Что-то вроде $\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}+5^{y}}{y} \leqslant 10$? Какой-то лес, смутно все вижу.

Как бы сказал ИСН, выкиньте эту десятку за забор

[lantza]

Cash в сообщении #988394 писал(а):

Да примените уж к числителю неравенство о среднем арифметическом-среднем геометрическом

$5^{\frac{1}{y}}y^2+5^y\geqslant2\sqrt{5^{\frac{1}{y}}y^2 5^y}$

$5^{\frac{1}{y}}y^2+5^y\geqslant2|y|\sqrt{5^{\frac{y^2+1}{y}}}$

Как-то от этого лучше не стало...

[mihailm]

А по-моему хорошо

[Cash]

Корень - это тоже какая-то степень.

lantza в сообщении #988406 писал(а):

$5^{\frac{1}{y}}y^2+5^y\geqslant2|y|\sqrt{5^{\frac{y^2+1}{y}}}$

Совет ИСН стал как никогда актуален.

[lantza]

Cash в сообщении #988418 писал(а):

Корень - это тоже какая-то степень.

Ну, $\sqrt{5^{\frac{y^2+1}{y}}}=5^{\frac{y^2+1}{2y}}$, это понятно.

mihailm в сообщении #988409 писал(а):

А по-моему хорошо

Что-то вроде (при $y>0$)
$ \begin{cases} \dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^2+5^y}{y} \geqslant {2\cdot5^{\frac{y^2+1}{2y}}} \\ \dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^2+5^y}{y} \leqslant 10 \end{cases} $
?

-- 10.03.2015, 22:56 --

Ага, ясно, число
$5^{\frac{y^2+1}{2y}}\geqslant5 \text{ при } \frac{y^2+1}{2y}\geqslant1$, а последнее неравенство означает $y>0$.

Отсюда вытекает равенство $5^{\frac{y^2+1}{2y}}=5 \to y=1$

Я пока что верно рассуждаю для случая $y>0$?