Показательно-логарифмическое неравенство.

[lantza]

$5^{\log_2 x} \log_x 2 + 5^{\log_x 2} \log_2 x \leqslant 10$

Подскажите, какие соображения помогут решить вот это неравенство? Если переписать все преобразования на ОДЗ, делая замену $y=\log_2 x$, то получится
$\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}-10y+5^{y}}{y} \leqslant 0$,
из чего как-то ничего не преобразовывается.

[ИСН]

Знаете, какие соображения помогут с совершенно другим неравенством $x+{1\over x}\leqslant2$?

[lantza]

ИСН в сообщении #988269 писал(а):

Знаете, какие соображения помогут с совершенно другим неравенством $x+{1\over x}\leqslant2$?

А что делать, если $x<0$?
$x+{1\over x}\leqslant-2$?

[ИСН]

Да не надо $x<0$. Скажите, что делать, когда он больше.

[lantza]

$5^{\log_2 x} \log_x 2 + 5^{\log_x 2} \log_2 x \leqslant 10$

$5^{\log_2 x} \dfrac{1}{\log_2 x} + 5^{\frac{1}{\log_2 x}} \log_2 x \leqslant 10$

Или я чего-то не понимаю, но $5^{\log_2 x} \ne \dfrac{1}{5^{\frac{1}{\log_2 x}}}$.

[ИСН]

Не равно, конечно. А при чём тут это?

-- менее минуты назад --

Моё неравенство, ещё раз говорю, совершенно другое. Оно - только для примера. Ваше к нему не приводится.

[lantza]

ИСН в сообщении #988347 писал(а):

Не равно, конечно. А при чём тут это?

-- менее минуты назад --

Моё неравенство, ещё раз говорю, совершенно другое. Оно - только для примера. Ваше к нему не приводится.

А я ведь серьезно подумал, что здесь надо использовать следствие из неравенства Коши (сумма двух взаимно положительных обратных чисел не меньше 2).
Сейчас подумаю. Выделить квадрат?

[ИСН]

Можно и так.

-- менее минуты назад --

(В моём примере, не в Вашем.)

[lantza]

ИСН в сообщении #988269 писал(а):

Знаете, какие соображения помогут с совершенно другим неравенством $x+{1\over x}\leqslant2$?

Ну, вообще, я не пойму, к чему вы. Здесь же очевидно:
$\dfrac{x^2-2x+1}{x}\leqslant0$

$\dfrac{(x-1)^2}{x}\leqslant0$

$ \begin{cases} x(x-1)^2\leqslant0 \\ x\ne0 \end{cases} $

$x \in (-\infty; 0)\cup\lbrace1\rbrace$.

В моем примере нет ничего очевидного.

[Cash]

lantza в сообщении #988358 писал(а):

А я ведь серьезно подумал, что здесь надо использовать следствие из неравенства Коши (сумма двух взаимно положительных обратных чисел не меньше 2).

А если не следствие, а про само неравенство Коши подумать?

[ИСН]

Ага, ОК. Я, собственно, ни на что полезное не намекал - только на то, что у Вас ситуация та же самая. А как это доказать, тут уж - - -

[mihailm]

lantza, вы десятку то не трогайте

[lantza]

ИСН в сообщении #988369 писал(а):

Ага, ОК. Я, собственно, ни на что полезное не намекал - только на то, что у Вас ситуация та же самая. А как это доказать, тут уж - - -

Ну тогда мне придется разобраться с уравнением $5^{\frac{1}{y}}y^{2}-10y+5^{y}=0$. Я, вроде как, подбором нахожу только один корень: $y=1$.
Может, других корней нет? Но надо это еще и доказать. Но как?

mihailm в сообщении #988372 писал(а):

lantza, вы десятку то не трогайте

Что-то вроде $\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}+5^{y}}{y} \leqslant 10$? Какой-то лес, смутно все вижу.

[ИСН]

lantza в сообщении #988377 писал(а):

Может, других корней нет? Но надо это еще и доказать. Но как?

Ну а там как? У некоторой кривой в некотором месте - минимум, поэтому меньше-или-равна она будет только в этом самом месте. Вот и тут то же самое.
Квадрат выделить не удаётся, да. Тогда я не знаю, ну. Производная там, мало ли.

[Cash]

lantza в сообщении #988377 писал(а):

Что-то вроде $\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}+5^{y}}{y} \leqslant 10$? Какой-то лес, смутно все вижу.

Да примените уж к числителю неравенство о среднем арифметическом-среднем геометрическом

(Оффтоп)

извините, что в лоб