2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 17:13 


15/11/14
111
$5^{\log_2 x} \log_x 2 + 5^{\log_x 2} \log_2 x \leqslant 10$

Подскажите, какие соображения помогут решить вот это неравенство? Если переписать все преобразования на ОДЗ, делая замену $y=\log_2 x$, то получится
$\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}-10y+5^{y}}{y} \leqslant 0$,
из чего как-то ничего не преобразовывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Знаете, какие соображения помогут с совершенно другим неравенством $x+{1\over x}\leqslant2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 18:10 


15/11/14
111
ИСН в сообщении #988269 писал(а):
Знаете, какие соображения помогут с совершенно другим неравенством $x+{1\over x}\leqslant2$?

А что делать, если $x<0$?
$x+{1\over x}\leqslant-2$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 18:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Да не надо $x<0$. Скажите, что делать, когда он больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 19:22 


15/11/14
111
$5^{\log_2 x} \log_x 2 + 5^{\log_x 2} \log_2 x \leqslant 10$

$5^{\log_2 x} \dfrac{1}{\log_2 x} + 5^{\frac{1}{\log_2 x}} \log_2 x \leqslant 10$

Или я чего-то не понимаю, но $5^{\log_2 x} \ne \dfrac{1}{5^{\frac{1}{\log_2 x}}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 21:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Не равно, конечно. А при чём тут это?

-- менее минуты назад --

Моё неравенство, ещё раз говорю, совершенно другое. Оно - только для примера. Ваше к нему не приводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 21:37 


15/11/14
111
ИСН в сообщении #988347 писал(а):
Не равно, конечно. А при чём тут это?

-- менее минуты назад --

Моё неравенство, ещё раз говорю, совершенно другое. Оно - только для примера. Ваше к нему не приводится.

А я ведь серьезно подумал, что здесь надо использовать следствие из неравенства Коши (сумма двух взаимно положительных обратных чисел не меньше 2).
Сейчас подумаю. Выделить квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Можно и так.

-- менее минуты назад --

(В моём примере, не в Вашем.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 21:50 


15/11/14
111
ИСН в сообщении #988269 писал(а):
Знаете, какие соображения помогут с совершенно другим неравенством $x+{1\over x}\leqslant2$?

Ну, вообще, я не пойму, к чему вы. Здесь же очевидно:
$\dfrac{x^2-2x+1}{x}\leqslant0$

$\dfrac{(x-1)^2}{x}\leqslant0$

$
\begin{cases}
x(x-1)^2\leqslant0 \\
x\ne0
\end{cases}
$

$x \in (-\infty; 0)\cup\lbrace1\rbrace$.

В моем примере нет ничего очевидного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 21:53 
Заслуженный участник


12/09/10
1495
lantza в сообщении #988358 писал(а):
А я ведь серьезно подумал, что здесь надо использовать следствие из неравенства Коши (сумма двух взаимно положительных обратных чисел не меньше 2).

А если не следствие, а про само неравенство Коши подумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
Ага, ОК. Я, собственно, ни на что полезное не намекал - только на то, что у Вас ситуация та же самая. А как это доказать, тут уж - - -

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 22:00 


19/05/10

3940
Россия
lantza, вы десятку то не трогайте

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 22:03 


15/11/14
111
ИСН в сообщении #988369 писал(а):
Ага, ОК. Я, собственно, ни на что полезное не намекал - только на то, что у Вас ситуация та же самая. А как это доказать, тут уж - - -

Ну тогда мне придется разобраться с уравнением $5^{\frac{1}{y}}y^{2}-10y+5^{y}=0$. Я, вроде как, подбором нахожу только один корень: $y=1$.
Может, других корней нет? Но надо это еще и доказать. Но как?

mihailm в сообщении #988372 писал(а):
lantza, вы десятку то не трогайте

Что-то вроде $\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}+5^{y}}{y} \leqslant 10$? Какой-то лес, смутно все вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13174
с Территории
lantza в сообщении #988377 писал(а):
Может, других корней нет? Но надо это еще и доказать. Но как?
Ну а там как? У некоторой кривой в некотором месте - минимум, поэтому меньше-или-равна она будет только в этом самом месте. Вот и тут то же самое.
Квадрат выделить не удаётся, да. Тогда я не знаю, ну. Производная там, мало ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показательно-логарифмическое неравенство.
Сообщение10.03.2015, 22:15 
Заслуженный участник


12/09/10
1495
lantza в сообщении #988377 писал(а):
Что-то вроде $\dfrac{5^{\frac{1}{y}}y^{2}+5^{y}}{y} \leqslant 10$? Какой-то лес, смутно все вижу.

Да примените уж к числителю неравенство о среднем арифметическом-среднем геометрическом

(Оффтоп)

извините, что в лоб

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group