Матрица линейного оператора

[fronnya]

В свете моей последней формулы хотелось бы вернуться к смыслу оператора: он задает закон, по которому вектору $e_i$ ставится в соответствие вектор $e_k$?

[provincialka]

fronnya в сообщении #988020 писал(а):

В свете моей последней формулы хотелось бы вернуться к смыслу оператора: он задает закон, по которому вектору $e_i$ ставится в соответствие вектор $e_k$?

Нет! Каждому базисному ставится в соответствие какой-то вектор, не обязательно базисный. Ну, например, отраженный от плоскости $Oxy$. Или повернутый. Или укороченный. Или... Или... Или...
Зная эти образы, в силу линейности мы можем найти и образ произвольного вектора.

-- 10.03.2015, 01:27 --

Вот, кстати, можете взять за пространство обычное трехмерное, а за оператор -- отражение от плоскости $Oxy$. И все проделать для него.

[fronnya]

Кстати, а это над этими операторами шляпки пишут?

[provincialka]

fronnya в сообщении #988029 писал(а):

Кстати, а это над этими операторами шляпки пишут?

Какими "этими"? Не знаю. Шляпки нужны дамам, а не операторам.

[Aritaborian]

В квантовой физике шляпки нужны и операторам ;-)

[Nemiroff]

fronnya в сообщении #988029 писал(а):

Кстати, а это над этими операторами шляпки пишут?

Не плодите циркумфлексов без надобности. Да, над этими тоже, если обозначений много. Да, если это квантовая механика. Нет, не надо его писать, когда не надо.

[svv]

А если базисы различны?
Кстати, и при $V=V'$ никто не мешает взять два разных базиса: по «входному» раскладывать $\mathbf x$, а по «выходному» $\textsf A\mathbf x$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Тогда матрица перехода — это матрица оператора $\mathrm{id}$! Ну всё, теперь у меня что-то как будто на место улеглось. (Какие ещё матрицы остались не операторными?)

[svv]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #988213 писал(а):

Тогда матрица перехода — это матрица оператора $\mathrm{id}$!

Да, тоже об этом думал. Хорошо!

[Hasek]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987943 писал(а):

Hasek в сообщении #987936 писал(а):

Пусть у Вас есть некое пространство с фиксированным базисом и есть некий линейный оператор. Вы поочередно действуете этим линейным оператором на все базисные векторы и получаете какие-то новые векторы. Вот в $i$-ом столбце матрицы линейного оператора стоит разложение $i$-го нового вектора по старому базису (в $j$-ой строке этого столбца коэффициент перед $j$-ым старым базисным вектором). Так получается матрица конкретного линейного оператора.

Выглядит как рекурсия) Чтобы подействовать оператором на векторы базиса, надо знать матрицу этого оператора. Чтобы задать матрицу оператора, надо подействовать им на векторы базиса и записать результат в столбцы.

Вы же прекрасно понимаете, что никакой рекурсии тут нет. :) В самом деле, линейный оператор -- суть линейное отображение, говоря о котором в общем случае даже никаких базисов и матриц выбирать необязательно.

-- 10.03.2015, 18:00 --

Aritaborian в сообщении #988032 писал(а):

В квантовой физике шляпки нужны и операторам

Nemiroff в сообщении #988033 писал(а):

Да, если это квантовая механика. Нет, не надо его писать, когда не надо.

На самом деле именно по причине того, что надоедает "крышевать" каждую вторую буковку, физики во многих случаях быстро начинают такое обозначение опускать. Во всяком случае, когда я слушал кванты, так делали сплошь и рядом.