Линейное пространство

[arseniiv]

Странно, что не упомянули, что в некотором пласте литературы даже обозначения разные вводят, сокращая $(V,F,+,\cdot)$ до $\mathcal V$, а не $V$, $(G,\cdot)$ до $\mathcal G$ и т. д.. И если ТС по какому-то фантастическому стечению обстоятельств не наткнулся на это ни разу…

(Оффтоп)

Плюс нечего Куратовским прикрываться, записывая для четвёрки определение $\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\}$. Куда практичнее на одних только парах добежать до функций и определить новые $n$-ки как функции $n\to V$, ведь соответствующее $V$ всегда найдётся.

[tolstopuz]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #988246 писал(а):

Плюс нечего Куратовским прикрываться, записывая для четвёрки определение $\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\}$.

А оно вообще неправильное - по нему $(0,1,1,1)=(0,0,1,1)$.

[arseniiv]

(Оффтоп)

О, и правда, оба $\{\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$.

Что одновременно означает финиш — получается, Kras даже с множествами не разобрался!

[warlock66613]

arseniiv в сообщении #988246 писал(а):

Куда практичнее на одних только парах добежать до функций и определить новые $n$-ки как функции $n\to V$, ведь соответствующее $V$ всегда найдётся.

А ещё лучше (по краней мере в данном случае) определить упорядченную $n$-ку аксиоматически, тем самым явно подчеркнув нетривиальный факт независимости определения и основных свойств линейного пространства от конкретной теоретико-множественной (или иной) реализации это самой $n$-ки.

-- 10.03.2015, 22:24 --

(Оффтоп)

И вообще, ИМХО, после определения упорядоченной пары как некоторого множества, удобно переопределить понятие "множество" так, чтобы упорядоченная пара отныне множеством не являлась.

[arseniiv]

warlock66613 в сообщении #988332 писал(а):

А ещё лучше (по краней мере в данном случае) определить упорядченную $n$-ку аксиоматически

По идее, в нормальном курсе теории множеств акцент на этом ставятся, а в остальных местах, если не проговаривается нужная аксиома, то вряд ли вместо неё фигурирует конструкция из вложенных $\{\{a\},\{a,b\}\}$.

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #988332 писал(а):

И вообще, ИМХО, после определения упорядоченной пары как некоторого множества, удобно переопределить понятие "множество" так, чтобы упорядоченная пара отныне множеством не являлась.

Проще тогда в теорию типов будет перенестись(?)

[warlock66613]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #988404 писал(а):

Проще тогда в теорию типов будет перенестись(?)

Да, если последовательно придерживаться этого пути, то к ней всё и сведётся.

[Kras]

tolstopuz в сообщении #988291 писал(а):

А оно вообще неправильное - по нему $(0,1,1,1)=(0,0,1,1)$

Большое спасибо. Предполагалось изначально, что четвёрка не содержит одинаковых компонент. Вопрос к аудитории: могут ли компоненты быть равными, если четвёрка - линейное пространство?? Но в самом общем случае мы имеем примерно следующее:
1. Определяем упорядоченную пару
$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$
2. Пишем рекуррентное определение $n$-ки
$(x_1,x_2)=\{\{x_1\},\{x_1,x_2\}\}$ если $n=2$
$(x_1,...,x_n)=((x_1,...,x_{n-1}),x_n)$ если $n>2$
3. Теперь пишем теорему, что $(x_1,...,x_n)=(y_1,...,y_n)$ равны только тогда, когда $x_i=y_i$ для всех $i$, $1\leq i\leq n$.
База индукции. Есть такой факт $(a,b)=(c,d)$ тогда и только тогда, когда $a=c$ и $b=d$. Интересно, что в литературе его считают иногда аксиомой, а иногда теоремой.
Предположение. $(x_1,...,x_{n-1})=(y_1,...,y_{n-1})\Leftrightarrow x_i=y_i$
Следствие. Теперь заметим, что $((x_1,...,x_{n-1}),x_n)$ само по себе является парой, так же как и $((y_1,...,y_{n-1}),y_n)$, откуда $x_n=y_n$ (см. База индукции)
Теперь можно я возьму не ваш пример, а две тройки $(0,1,1)$ и $(0,0,1)$? Их нельзя считать равными, так как
$(0,0,1)=\{\{\{0\}\},\{\{0\},1\}\}$
$(0,1,1)=\{\{\{0\},\{0,1\}\},\{\{0\},\{0,1\},1\}\}$

arseniiv в сообщении #988310 писал(а):

Что одновременно означает финиш — получается, Kras даже с множествами не разобрался!

arseniiv, а вы в состоянии, пользуясь, скажем, рекуррентным определением, выписать случай $n=4$? И насколько это целесообразно и необходимо, если цель - понять что такое линейное пространство?

warlock66613 в сообщении #988332 писал(а):

А ещё лучше (по краней мере в данном случае) определить упорядченную $n$-ку аксиоматически, тем самым явно подчеркнув нетривиальный факт независимости определения и основных свойств линейного пространства от конкретной теоретико-множественной (или иной) реализации это самой $n$-ки.

warlock66613, расскажите подробнее, если не трудно.

[Munin]

Kras в сообщении #988473 писал(а):

Вопрос к аудитории: могут ли компоненты быть равными, если четвёрка - линейное пространство??

Вообще говоря, каждое поле - это линейное пространство над самим собой.

[Geen]

Munin в сообщении #988493 писал(а):

Kras в сообщении #988473 писал(а):

Вопрос к аудитории: могут ли компоненты быть равными, если четвёрка - линейное пространство??

Вообще говоря, каждое поле - это линейное пространство над самим собой.

Всё-таки нет - нет, явно, того поля, в определении поля, над которым оно векторное пр-во.

Хотя одномерное векторное пр-во, в некотором смысле, "тождественно" самому полю.

[arseniiv]

Kras в сообщении #988473 писал(а):

Интересно, что в литературе его считают иногда аксиомой

Ну вы точно читали литературу неаккуратно. Когда пара определяется как множество, это не может быть аксиомой. То, что так определённая «пара» $f$ — это действительно пара, удовлетворяющая $f(a,b) = f(c,d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$, подлежит доказательству.

Kras в сообщении #988473 писал(а):

Предполагалось изначально, что четвёрка не содержит одинаковых компонент.

В общем случае такого об $n$-ках не предполагается.

Kras в сообщении #988473 писал(а):

arseniiv, а вы в состоянии, пользуясь, скажем, рекуррентным определением, выписать случай $n=4$? И насколько это целесообразно и необходимо, если цель - понять что такое линейное пространство?

Что значит «выписать» — раскрыть все определения $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$? Это делается автоматически. Доказательство того, что $(((a,b),c),d) = (((a',b'),c'),d') \Leftrightarrow a=a'\wedge b=b'\wedge c=c'\wedge d=d'$, даже индукции не требует, т. к. $n$ одно. Что ещё с ней сделать, не знаю.

Насколько это целесообразно и необходимо — не знаю, но вы хвалились (или подставьте какое-нибудь другое слово, если это не нравится) своим чтением теории множеств и чего-то кому-то советовали, а вот оно как на деле вышло. Не, все мы не идеальны — но не всякую же ошибку можно списать.

Geen в сообщении #988501 писал(а):

Всё-таки нет - нет, явно, того поля, в определении поля, над которым оно векторное пр-во.

$(\mathbb R,\mathbb R,+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R})$ — не линейное пространство? Потом, зачем в определении поля нужно говорить о векторном пространстве? (Скорее всего, я не понял сообщение.)

[Kras]

arseniiv в сообщении #988513 писал(а):

Когда пара определяется как множество, это не может быть аксиомой.

Должно быть так: пара - это множество, которое удовлетворяет следующим аксиомам... Но я говорил совершенно о другом, странно что вы не хотите понять. $(a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$ - это некий факт относительно упорядоченных пар. Его можно вывести из других фактов, а можно включить в список аксиом.

Цитата:

Доказательство того, что $(((a,b),c),d) = (((a',b'),c'),d') \Leftrightarrow a=a'\wedge b=b'\wedge c=c'\wedge d=d'$, даже индукции не требует, т. к. $n$ одно.

В смысле $n$ одно? Как например можно доказать теорему без индукции?

[Geen]

arseniiv в сообщении #988513 писал(а):

$(\mathbb R,\mathbb R,+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R})$ — не линейное пространство?

Линейное, но это не тоже самое, что $(\mathbb R,+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R})$ (хотя из любой(?) такой тройки можно "сделать" ту четвёрку).
Кстати, не очень понятен смысл этих троек-четвёрок - ведь у нас ещё с десяток аксиом сопровождает каждый символ в них.... И для векторного пространства можно было бы брать группу, поле и функцию от них в группу.

[arseniiv]

Kras в сообщении #988537 писал(а):

$(a,b) = (c,d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$ - это некий факт относительно упорядоченных пар. Его можно вывести из других фактов, а можно включить в список аксиом.

Так это уже упомянуто:

warlock66613 в сообщении #988332 писал(а):

А ещё лучше (по краней мере в данном случае) определить упорядченную $n$-ку аксиоматически

Но включать это в аксиоматику теории множеств совсем не нужно.

Kras в сообщении #988537 писал(а):

В смысле $n$ одно? Как например можно доказать теорему без индукции?

Вы же написали «$n=4$» — значит, одно. Куда тут применять индукцию?

Geen в сообщении #988540 писал(а):

Линейное, но это не тоже самое, что $(\mathbb R,+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R})$

Несомненно, в общем случае от линейного пространства и поля требуется разное. А в конкретном у нас есть $\mathbb R,+_{\mathbb R},\cdot_{\mathbb R},<_{\mathbb R}$ и куча всего остального. Но подставлять их в теоремы о линейных пространствах, полях и упорядоченных множествах никто не помешает. В общем, я не понял, в чём вопрос кроме того, что, действительно, равенство тройки и четвёрки особого смысла не имеет, чего бы там в них не находилось.

Geen в сообщении #988540 писал(а):

Кстати, не очень понятен смысл этих троек-четвёрок - ведь у нас ещё с десяток аксиом сопровождает каждый символ в них.... И для векторного пространства можно было бы брать группу, поле и функцию от них в группу.

Можно, но будет слишком много ненужных скобок. Нам же всего-то отличить одну операцию от другой и ненароком не перепутать с множеством векторов.

[Kras]

arseniiv
Я просто доказал теорему для всех $n$, чтобы исключить недоразумения вроде $(0,1,1)=(0,0,1)$. Из теоремы ясно, что равенство $n$-ок означает равенство компонент, поэтому с новым определением уже не будет таких проблем.

Меня заинтересовало другое. В аксиомах
$\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}$
$1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x} $
$(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x} $
$ \alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}$
векторы умножаются на скаляры слева. Коммутативности нет. Какой тут можно привести пример ЛП, в котором $\alpha\mathbf{x} \ne \mathbf{x}\alpha$?

[tolstopuz]

Kras в сообщении #988553 писал(а):

Какой тут можно привести пример ЛП, в котором $\alpha\mathbf{x} \ne \mathbf{x}\alpha$?

Где и каким образом определяется $\mathbf{x}\alpha$?