Линейное пространство

[Kras]

Xaositect
Огромное спасибо, там как бы два $V$ в определении. Теперь я всё понял. Осталось понять смысл применения слова над в математической литературе. Я попытался что-то набросать своими силами, но как видите там получилось два варианта, подскажите если не трудно...
demolishka
Вы уверены? Я например нашёл такие термины:
-Кольцо многочленов от одной переменной над полем
-Кольцо многочленов над кольцом
-Решетка подпространств $n$-мерного векторного пространства над кольцом
-Обратимые матрицы над кольцом целых чисел
-Обратимые матрицы над полем
-Радикальные формы над полем
и ещё целую кучу всевозможных слов и фраз, смысл которых мне не понятен. Вы пытаетесь сказать что на каждое над нужно давать своё определение? Тогда возникает проблема. Авторы текстов просто используют эти понятия, полагая их заранее известными.

[iifat]

Kras в сообщении #988069 писал(а):

В Википедии сказано следующее

Kras в сообщении #988098 писал(а):

Тема отличная — сразу видно, насколько всё запущено, если учить 'математику', как её дают в российских вузах

Итак, благородный дон взялся изучать линейные пространства по Википедии, а виноваты во всём, ну конечно же, российские вузы. Все они скопом не смогли научить благородного дона, что изучать математику лучше б по книгам, а не по Википедии. Это действительно их недоработка.
Таки рискну добавить.
Линейное пространство — понятие, объединяющее четыре других (множество векторов, некое поле, операции сложения векторов и умножение вектора на элемент поля). Какими предлогами соединять эти четыре понятия воедино — для математики неважно. Потому выбор производится, исходя из гладкости фраз. Поскольку часто требуется упоминание линейного пространства и поля, часто используется фраза «линейное пространство над полем». Кто изучает линейные пространства, те понимают, что она означает. Анализировать её лингвистически — в высшей степени бесполезное занятие.
Надеюсь, что такое линейное подпространство, вы на самом-то деле понимаете.
И да, четвёрка — это нечто, разумеется, изоморфное приведённому вами определению. Но, как вам уже и сказали, в областях, отличных от теории множеств, четвёрка — это просто четвёрка.

[ИСН]

Kras в сообщении #988117 писал(а):

Осталось понять смысл применения слова над в математической литературе.

Цитата:

- Как будет по-английски "по"? Я хочу им сказать, что мне это по барабану.

-- менее минуты назад --

iifat в сообщении #988124 писал(а):

Все они скопом не смогли научить благородного дона, что изучать математику лучше б по книгам, а не по Википедии.

А чем лучше-то, например? Там не то же самое написано? Там какие-то другие буквы? Там страницы пропитаны эликсиром сокровенного понимания? Мало ли Вы видели людей, которые смотрят в книгу, а видят - - -

[iifat]

ИСН в сообщении #988125 писал(а):

А чем лучше-то, например?

Полагаю, тем, что в книге предлагается постепенное объяснение понятий, да обычно ещё и примеры применения, а в Википедии — выжимки. Википедия, на мой взгляд, весьма полезна, когда знал, знал, да вдруг забыл кие-нить тонкости. Учить по ней предмет — хм... Ну, может, я просто устарел, но, по-моему, вопросы ТС из такого способа изучения проистекают вполне закономерно. Таки ж да, четвёрка — это именно то, что он написал. Только вот из другоё области...

[Munin]

Kras в сообщении #988069 писал(а):

Один из участников дискуссии
Munin использовал незнакомый мне термин линейное пространство.

Ого. Если незнакомый - вам надо изучить курс линейной алгебры. Я думал, что он вам знаком.

Kras в сообщении #988069 писал(а):

Вопросов две штуки:
1) Я совершенно не понимаю, в чём смысл использования слова над, если речь идёт о математических структурах. Слово часто возникает в литературе. Может ли кто-нибудь пояснить что оно означает?

Здесь вот какое дело. Алгебра (как раздел математики) - это множество определений и теорем о них. Эти определения используют друг друга. Сначала вводится какое-то понятие $\mathscr{A},$ потом какое-то понятие $\mathscr{B},$ такое что оно использует понятие $\mathscr{A}$ как уже введённое. Это видно в процитированном вами определении:
1) используется понятие "упорядоченная четвёрка" (как частный случай "упорядоченного набора $n$ элементов" при $n=4$) - вводимое ещё до алгебры, в теории множеств;
2) используется понятие алгебраической операции (вводимое в алгебре на самом начальном этапе);
3) используется понятие алгебраического поля - а поле само по себе определяется через $n$-ку и алгебраические операции.

Если посмотреть на то целое, которое образует эта четвёрка, то видно, что множество $V$ может существовать само по себе - но множество само по себе - это скучный с точки зрения алгебры объект, не алгебраический. Операции не могут существовать сами по себе, они требуют уже и множества $V,$ и поля $F.$ А вот поле - поле может существовать само по себе, как отдельный независимый алгебраический объект. Таким образом, получается такой порядок построения линейного пространства: сначала выбирается какое-то поле, а потом к нему добавляется комплектом всё остальное: множество $V$ и две операции. Вот в таком смысле, неформально говоря, в математике и используется слово "над".

Если посмотреть на то, какие бывают поля, то поля бывают разные. Примеров в курсе алгебры приводится много, я упомяну такие поля, как поле рациональных чисел $\mathbb{Q},$ поле действительных чисел $\mathbb{R},$ поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ - два последних используются в математике шире всего. Кроме того, множества $V$ бывают разные, операции $+,\cdot$ бывают разные. И вот есть такое соотношение: если взять одно какое-то фиксированное поле $F,$ то ему одному можно поставить в соответствие много разных линейных пространств - каждое со своим множеством и операциями (и они будут неизоморфны друг другу, так что они будут разными даже "с точностью до изоморфизма"). Но если два поля $F_1$ и $F_2$ различны, неизоморфны, то тогда и два линейных пространства тоже заведомо различны. Таким образом, получается, что выбранное поле - это некий "настроечный параметр" линейного пространства, задающий его, хотя ещё и не однозначно. Ещё и в этом смысле, неформально говоря, в математике используется слово "над".

Kras в сообщении #988069 писал(а):

Проблема в том, что из всех подмножеств четвёрки, линейным пространством может быть только сама четвёрка.

Это типичное в математике упрощение речи: если линейное пространство - это четвёрка $(V,F,+,\cdot),$ то его воспринимают, неформально говоря, как множество $V$ "с дополнениями" - с какими-то структурами и правилами, связывающими элементы этого множества между собой и со внешним миром (в данном случае - с полем $F$ и его элементами). При этом, принято:
- вместо "линейное пространство $(V,F,+,\cdot)$" говорить просто "линейное пространство $V$";
- всегда, когда говорят об элементах и подмножествах линейного пространства, подразумевать элементы и подмножества множества $V$;
- но всегда, когда говорят о каких-то алгебраических структурах и свойствах, вспоминать о линейном пространстве $(V,F,+,\cdot),$ и подразумевать структуры и свойства именно в смысле этого линейного пространства.

При этом, неформально говоря, подразумевается, что различные линейные пространства включают в себя (как 4-ки) различные множества $V,$ и указав множество (обозначенное каждый раз по-своему), мы однозначно указываем пространство. Даже два изоморфных линейных пространства могут подразумеваться как основанные на двух разных множествах. Это подразумевается, ещё раз повторю, для удобства речи, и не приводит к ограничению общности рассмотрения. Если где-то требуется отступить от этих умолчаний, то это произносится явно, и тоже не приносит проблем.

Кстати, линейное пространство - не первый объект, для которого принято такое соглашение. В процитированном определении упоминается поле $F$ - так вот, в определении поля записано что-то типа "поле - это упорядоченная тройка $(F,+_F,\cdot_F),$ где ...". То есть, опять же, буква $F$ играет роль обозначения и того множества, на котором основано поле, и самого этого поля. Говорят об элементах $F$ в смысле элементов множества $F.$

[Kras]

iifat в сообщении #988124 писал(а):

Итак, благородный дон взялся изучать линейные пространства по Википедии, а виноваты во всём, ну конечно же, российские вузы.

Разумеется, вы просто неверно интерпретируете мой посыл. Я говорил конечно же о другом. Участник дискуссии не понимает в чём разница между $X\times Y$ и $Y\times X$ если речь предварительно шла о бинарной операции. Участник дискуссии не понимает что такое упорядоченная четвёрка и видимо вообще что такое $n$-ка. Никто не виноват, проблема даже не в российских вузах с их подходом к обучению, а в том что некоторые считают этот подход единственным правильным. Потому что без вузовской системы с её традициями и учебными планами, какая разница вообще с чего начинать? Можно учить теорию множеств, логику, теорию групп, ну какие проблемы? Я предлагаю сконцентрироваться на тех вопросах, которые я задал в первом сообщении. Иначе мы просто уйдём от темы.

Ясно что если математик использует слово над, он пытается как-то 'увязать' два множества. 'Увязать' можно по-разному. Мой вопрос вполне конкретный. Я пытаюсь понять, что это означает даже не в случае линейного пространства, а вообще, когда мы имеем дело с разными структурами.

iifat в сообщении #988124 писал(а):

Надеюсь, что такое линейное подпространство, вы на самом-то деле понимаете.

Простите а по каким книгам лучше всего это понимать? Вот скажем электронная версия книги сгодится или обязательно нужен бумажный вариант? Или только в ВУЗе научат?

[ИСН]

Kras в сообщении #988134 писал(а):

Я пытаюсь понять, что это означает даже не в случае линейного пространства, а вообще, когда мы имеем дело с разными структурами.

Не надо "вообще". Обобщения - сложны. Поймите в конкретном случае. Складывать и умножать вон могут и малые дети, а чтобы выяснить общие свойства бинарных операций, понадобились такие абстракции, как группа. Сравнивать тоже доступно и первоклашкам, а общие свойства частично упорядоченных множеств - не всякому студенту. И так во всём.

Kras в сообщении #988134 писал(а):

Или только в ВУЗе научат?

Если статистически посмотреть: огромное большинство людей, обладающих этими знаниями, получили их таки в ВУЗе.

[provincialka]

Kras в сообщении #988098 писал(а):

Тема отличная — сразу видно, насколько всё запущено, если учить 'математику', как её дают в российских вузах.

Нет. если учить математику по википедии (вы же с нее начали?)

[Munin]

Kras в сообщении #988089 писал(а):

Строгое определение не понятно. С предлогами обращаются вполне осмысленно: есть например отображение на, а есть отображение в. Это два разных понятия.

Это редкий в математике случай. Обычно к предлогам относятся более неформально. И даже здесь - это неудобно, и вместо "отображение на" и "отображение в" чаще говорят "сюръекция" и "инъекция".

[Kras]

Munin
Спасибо огромное! Но вы уверены, что строгого определения нет? И что каждый раз, когда автор использует какую-то конкретную структуру над множеством, надо знать сперва её точное определение? Получается что слово над может выражать всё что угодно в тех или иных ситуациях, а без конкретики оно вообще не имеет никакого смысла...

[Munin]

Nemiroff в сообщении #988093 писал(а):

В человеческом смысле четвёрка — четыре штуки. Просто четыре штуки вместе. Упорядоченная — чтоб писать удобно было.

Нет, чтобы не перепутать между собой порядок элементов. Например, если переставить местами две операции в определении поля, то они перестанут удовлетворять аксиомам.

Kras в сообщении #988098 писал(а):

В 'человеческом' смысле четвёрка - четырехэлементное множество. Просто четыре штуки вместе.

А упорядоченная четвёрка - это упорядоченное четырёхэлементное множество. Не просто четыре штуки вместе, а в определённом порядке: кто первый, кто второй, кто третий, кто четвёртый.

[Xaositect]

Слово "над" - это просто предлог, предлогов не так много вообще, их используют в разных ситуациях. Можно привести примеры терминов, которые содержат сочетание "над $X$", но не имеют в виду операции вида $X\times Y\to Y$ или $Y\times X\to Y$. Например, алгебра над монадой, пучок структур над топологическим пространством.

[Nemiroff]

Munin в сообщении #988142 писал(а):

Нет, чтобы не перепутать между собой порядок элементов. Например, если переставить местами две операции в определении поля, то они перестанут удовлетворять аксиомам.

Все правильно. И при этом буквоедство. Перепутать операции из разных множеств --- это весьма творческая процедура.

В свете последних сообщений от ТС это абсолютно неважно. Продолжайте кормить.

[Munin]

Kras в сообщении #988134 писал(а):

Участник дискуссии не понимает что такое упорядоченная четвёрка

Скорее, это вы не поняли этого, а он-то понял. Или вы подразумеваете "участник дискуссии" = вы?

Kras в сообщении #988134 писал(а):

Ясно что если математик использует слово над, он пытается как-то 'увязать' два множества. 'Увязать' можно по-разному.

Нету никакого стандартного способа увязать два множества, подразумеваемого под словом "над". Это слово всегда неформальное - хотя встречается в похожих между собой случаях.

Kras в сообщении #988141 писал(а):

Спасибо огромное! Но вы уверены, что строгого определения нет?

— Гиви, докажи теорему Пифагора.
— Мамой клянусь!

Если и есть где-то строгое определение, то оно не общеизвестно: все понимают это слово как нестрогое. А "теорему несуществования" в математике доказать нельзя: какой-нибудь малоизвестный математик (уровня аспиранта заштатного вуза) мог где-нибудь в статье, которую читали 5 человек, включая рецензента и наборщика, ввести такое понятие, и оно "стало строгим". Вот только никому не известным :-) Более того, смысл этого строгого определения мог быть совершенно диким и не согласованным с общепринятым пониманием.

Kras в сообщении #988141 писал(а):

И что каждый раз, когда автор использует какую-то конкретную структуру над множеством, надо знать сперва её точное определение?

Это - да. Это я вам могу гарантировать. И даже больше: каждый раз когда автор вообще использует какое-то <неизвестное вам слово>, надо знать сперва его точное определение. Се ля ви (такова судьба, франц.).

[svv]

Kras в сообщении #988134 писал(а):

Ясно что если математик использует слово над, он пытается как-то 'увязать' два множества. 'Увязать' можно по-разному.

Заметьте, что в этом и многих других случаях оба множества играют различные роли. В чем именно состоит каждая роль — раскрывается в определении. «Над» помечает множество с определенной в данной ситуации ролью.

Википедия писал(а):

Линейное, или векторное пространство $V \left( F \right)$ над полем $F$ — это упорядоченная четвёрка $(V,F,+,\cdot)$, где

Иначе говоря, «линейное пространство» вообще — это шаблон, который имеет четыре различных фрейма (рамки-ячейки, в каждую из которых надо вписать нечто подходящее по смыслу) — «векторы», «скаляры», «сложение» и «умножение». Название фрейма указывает роль того, что Вы туда впишете, в формировании линейного пространства: в качестве векторов берем вот это, в качестве скаляров вон то, а сложением и умножением считаем такие-то операции.

Когда Вы заполняете эти фреймы чем-то подходящим, Вы получаете определенное линейное пространство. Когда мы говорим «над полем ...», это означает: внимание, заполняем фрейм «скаляры».