Выражение 0^0

[Natalya D]

Здравствуйте уважаемые, извиняюсь что влезаю в дискуссию… я не математик но, меня ноль тоже всегда интересовал.

Не знаю как кого учили в школе но нам, когда мы дошли до понятия «Ноль» учительница метаясь по классу стаскивала предметы с парт и говорила:

- Вот учебник на парте. Хоп и его нет. Значит на парте ноль учебников.
Или
- Вот линейка на столе. Хоп и ее нет. Значит на столе ноль линеек.

Я тогда задала мне кажется логичный вопрос:

- Но ведь на парте много чего еще нет. То есть на нем нет миллиона учебников, а еще яблок, кошек, бегемота и летающей тарелки с зелеными человечками.

Что мне ответили я не помню точно, потому что ответ был как отмазка. Учительница была слаба в объяснениях и не любила вопросов, отрабатывала программу и все.

Став постарше никак не могла понять этот странный «Ноль». Он вроде как бесконечность, но с минусом и в то же время на много больше больше этой бесконечности с «минусом».

Если представить плоскость стола как отдельную вселенную, то в результате раздумий о природе этой вселенной приходишь к выводу, что на столе НЕТ еще и много из того что:
а) Существовало – отрицательные числа
б) Будет существовать – отрицательные числа
в) Никогда не существовало, не существует и не будет существовать
г) Могло бы существовать при определенных условиях, а могло бы не существовать.

И если пункты а), б) еще можно как-то отнести к отрицательным числам, то куда девать пункт в) и г)?

И кстати всегда можно заявить что на столе НЕТ 85-ти рыболовов, энного количества микробов бубонной чумы, и целой бесконечности тарелок с манной кашей.

То есть «ноль» как ни странно содержит в себе гораздо больше, чем оба конца бесконечности (положительной и отрицательной).

Я проголосовала за то что ноль в нулевой степени это все таки единица – то с чего все началось. А началось все с нуля, которая потом раз и стала существовать.

Но это мое мнение о происхождении нашего стола ))

[Dan B-Yallay]

Natalya D писал(а):

Я тогда задала мне кажется логичный вопрос:

- Но ведь на парте много чего еще нет. То есть на нем нет миллиона учебников, а еще яблок, кошек, бегемота и летающей тарелки с зелеными человечками.

У нас чего только может не быть??? У нас всего может не быть!!! У нас чего только не захочешь, того может и не быть (Жванецкий)

Ноль тем и "универсален", что на пустом столе - чего ни подумаешь, того и нет. Кроме пустоты естественно. Там она в одном экземпляре наличествует.

[AD]

Natalya D писал(а):

А началось все с нуля, которая потом раз и стала существовать.

Ничего не понятно, но в этом что-то есть. Если бы в первом классе обучали современным основам математики, типа там всякой теории множеств, то считать учили бы примерно так:

1. Существует пустое множество $\varnothing$ (то есть такое, в котором ничего нет. То есть чего ни захочешь, того и нет. То, о чем вы говорите, ближе к "пустому множеству", чем к "нулю").
2. Если $X_1$, ..., $X_n$ - множества, то существует множество $\{X_1,\ldots,X_n\}$, в котором "есть" множества $X_1$, ..., $X_n$ и только они.

И вот теперь учимся считать: $\varnothing$ - это ноль. А $\{\varnothing\}$ - это единица. То есть множество, состоящее из одного элемента - пустого множества :). Было ничего, мы этот факт проконстатировали - получилась единица. "Ничего" - 1шт. А дальше что такое 2? Это $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$. То есть множество, состоящее из двух предыдущих множеств. И т.д.

И такая вот теория происхождения единицы есть ... :D Типа во всей математике есть только одно пустое множество, и потом на него навешивают фигурные скобочки.

P.S. Ужас, опять меня спровоцировали на лекцию про аксиоматику Цермело-Френкеля ... 8-) Очень уж я от нее в восторге.

Добавлено спустя 3 минуты:

P.P.S. Уточню на всякий случай: "от неё" - это от аксиоматики.

[STilda]

AD писал(а):

И вот теперь учимся считать: $\varnothing$ - это ноль. А $\{\varnothing\}$ - это единица. То есть множество, состоящее из одного элемента - пустого множества . Было ничего, мы этот факт проконстатировали - получилась единица. "Ничего" - 1шт. А дальше что такое 2? Это $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$. То есть множество, состоящее из двух предыдущих множеств. И т.д.

Интересно, а есть интерпретация операций сложения, умножения над так введенными числами? $1+2=3$, это вроде $\{\varnothing\}+\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$. Как можно выразить сложение с позиций таких множеств (представляющих числа)?

[AD]

STilda писал(а):

Как можно выразить сложение с позиций таких множеств (представляющих числа)?

Ну очень просто. $x+1=\{1,\ldots,x\}$, а остальные операции через прибавление единицы выражаются: $x+y=(x+1)+(y-1)$, а последнее выражение выражается по предположению индукции (по $y$, база $x+1=x+1$); $x\cdot y=x\cdot(y-1)+x$ (здесь база индукции $x\cdot1=x$ по определению). Знакомый с первого курса процесс.

Только вы, наверное, хотели что-нибудь простое, типа там объединение какое-нибудь вместо сложения, да? Тогда вряд ли.

З.Ы. "-1" - это операция, обратная к "+1" на множестве $\mathbb N\setminus\{1\}$.

З.З.Ы. я очень поверхностно излагаю

З.З.З.Ы. ну что вы ко мне пристали-то, не понимаю я в этом ничего! oX

З.З.З.З.Ы. ладно короче, повыпендривался - и в тину пора.

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

З.З.З.Ы. ну что вы ко мне пристали-то, не понимаю я в этом ничего! oX

Зато я хорошо понимаю Гы!!!

Натуральные числа суть конечные ординалы. Для произвольных двух ординалов в теории множеств определяется их сумма. Есть два формальных определения: по трансфинитной индукции и через сумму линейных порядков. Они эквивалентны.

Если интересно, завтра вечером могу расписать всё подробно. Сегодня, к сожалению, времени нет Гости пришли, надо их развлекать. Если уткнусь в компьютер, меня, увы, не поймут.

[Someone]

STilda писал(а):

Интересно, а есть интерпретация операций сложения, умножения над так введенными числами? $1+2=3$, это вроде $\{\varnothing\}+\{\varnothing,\{\varnothing\}\}=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$.

Обычно для определённых таким образом натуральных чисел определяют операцию "следующее число" (прибавление единицы) как $n'=n\cup\{n\}$, а сложение и умножение определяют с помощью индуктивных определений, как писал AD:
1) $n+0=n$,
2) $n+m'=n'+m$,
3) $n\cdot 0=0$,
4) $n\cdot m'=n\cdot m+n$.

Ну, может быть, Профессор Снэйп подробнее напишет.

[shust]

Someone писал(а):

сложение ... определяют с помощью индуктивных определений..:
1) $n+0=n$,
2) $n+m'=n'+m$,
...
Ну, может быть, Профессор Снэйп подробнее напишет.

Не знаю как Профессор Снэйп, а Д. Гильберт своей книге "Основания математики..." М.: Наука, 1979 стр. 454 дает следующее определение сложения:
$n+0=n$,
$n+m'=(n+m)'$
Ваша формула 2) верна, но это уже из другой оперы.

[Someone]

shust писал(а):

Д. Гильберт своей книге "Основания математики..." М.: Наука, 1979 стр. 454 дает следующее определение сложения:
$n+0=n$,
$n+m'=(n+m)'$
Ваша формула 2) верна, но это уже из другой оперы.

Что значит - "из другой оперы"? Она не определяет сложения?

Вообще-то, я не собирался оригинальничать. Просто процитировал по памяти, что категорически не рекомендуется.

[shust]

Someone писал(а):

Что значит - "из другой оперы"? Она не определяет сложения?

Формула 2) выражает свойство выражений, содержащих действие сложения и функцию следования '.

Стандартное определение операции сложения
$n+0=n$,
$n+m'=(n+m)'$
дается во многих книгах, в частности
1. К. Куратовский, А. Мостовский Теория множеств М.: Мир 1970 стр. 99
2. С.В. Ларин Числовые системы М.: Академия, 2001. с. 20. Из нее цитата:
"Второе условие (или вторая аксиома) сложения показывает, как к $n$ прибавить $m'$, если известна сумма $n+m$: для этого нужно перейти к непосредственно следующему за $n+m$ числу $(n+m)'$".
Первая аксиома может быть записана и в таком виде [2]:
$n+1=n'$

Someone писал(а):

Вообще-то, я не собирался оригинальничать. Просто процитировал по памяти, что категорически не рекомендуется.

И правильно, что не рекомендуется. "Вы ошиблись", как говорит в таких случаях ведущий Леонид Якубович в известной игре "Поле чудес".

[Someone]

shust писал(а):

Someone писал(а):

Что значит - "из другой оперы"? Она не определяет сложения?

Формула 2) выражает свойство выражений, содержащих действие сложения и функцию следования '.

Что отличается от стандартного определения - согласен. Вопрос в другом: мои равенства 1) и 2) определяют сложение в описанной ситуации или не определяют?

[STilda]

Спасибо, подход с "следующим числом" и индукцией понятен.

[Профессор Снэйп]

Для произвольных ординалов значение их суммы определяется при помощи трансфинитной индукции по второму аргументу следующим образом:

$$ \begin{array}{ccl} \alpha + 0 &=& \alpha \\ \alpha + \beta' &=& (\alpha + \beta)' \\ \alpha + \gamma &=& \bigcup \{ \alpha + \delta : \delta \in \gamma \} \end{array} $$

где $\beta' = \beta \cup \{ \beta \}$, а $\gamma$ обозначает предельный ординал. Если мы ограничиваем эту операцию на конечные ординалы (то есть не предельные ординалы с не предельными элементами), то получаем как раз то, что писал shust

$$ \begin{array}{ccl} n + 0 &=& n \\ n + m' &=& (n+m)' \\ \end{array} $$

Если же говорить о формулах

$$ \begin{array}{ccl} n + 0 &=& n \\ n + m' &=& n'+m \\ \end{array} $$

предложенных Someone, то я с такими ни разу не встречался. Непродолжительная медитация над ними приводит меня к выводу, что эти формулы, безусловно, можно рассматривать как определение сложения на натуральных числах, однако на случай произвольных ординалов это определение не обобщается.

Для произвольных ординалов определить их сумму можно и совершенно другим способом, без использования индукции.

Пусть $\mathcal{L}_1 = \langle L_1, <_1 \rangle$ и $\mathcal{L}_2 = \langle L_2, <_2 \rangle$ --- два линейных порядка. Тогда их суммой $\mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2$ называется линейный порядок $\mathcal{L} = \langle L, < \rangle$, где

$$ L = (\{ 0 \} \times L_1) \cup (\{ 1 \} \times L_2) $$

и

$$ \langle \varepsilon, x \rangle < \langle \delta, y \rangle \Leftrightarrow (\varepsilon = 0 \mathbin{\&} \delta = 1) \vee (\varepsilon = \delta = 0 \mathbin{\&} x <_1 y) \vee (\varepsilon = \delta = 1 \mathbin{\&} x <_2 y) $$

Нетрудно проверить, что если имеют место изоморфизмы $\mathcal{L}_1 \cong \mathcal{L}_1'$ и $\mathcal{L}_2 \cong \mathcal{L}_2'$, то линейные порядки $\mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2$ и $\mathcal{L}_1' + \mathcal{L}_2'$ также будут изоморфны. Таким образом, если исходные порядки интересуют нас с точностью до изоморфизма, то их сумма также будет задана однозначно с точностью до изоморфизма.

Ординалы есть ни что иное, как типы изоморфизма вполне упорядоченных множеств (точнее, канонические представители этих типов). Это так, поскольку справедливы следующие 2 (достаточно известных) утверждения:

1) Если $\alpha$ ординал, то $\langle \alpha, \in \rangle$ есть вполне упорядоченное множество.

2) Если $\mathcal{A}$ есть вполне упорядоченное множество, то существует единственный ординал $\alpha$, такой что $\mathcal{A} \cong \langle \alpha, \in \rangle$.

Кроме того, очень легко показать, что сумма вполне упорядоченных множеств есть также вполне упорядоченное множество.

Из всего вышесказанного следует, что справедливо следующее утверждение: если $\alpha$ и $\beta$ ординалы, то существует единственный ординал $\gamma$, такой что $\langle \gamma, \in \rangle \cong \langle \alpha, \in \rangle + \langle \beta, \in \rangle$. Вот этот самый единственный $\gamma$ мы и будем называть суммой ординалов $\alpha$ и $\beta$ (и писать $\gamma = \alpha + \beta$).

Ограничивая всё это дело на конечные ординалы, получаем другое определение суммы натуральных чисел, через линейные порядки (а если считать вариант Someone, так даже третье )

P. S. Определение суммы через сумму линейных порядков --- это не блажь, оно (это определение) очень удобно со многих точек зрения (и конечно же эквивалентно исходному, индуктивному определению). Например, попробуйте доказать через индуктивное определение, что операция суммы на ординалах (или хотя бы на натуральных числах) ассоциативна. Это не так просто, придётся потрудиться! А если определять сумму через порядки, то свойство ассоциативности становится почти что очевидным!

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Если же говорить о формулах

$$ \begin{array}{ccl} n + 0 &=& n \\ n + m' &=& n'+m \\ \end{array} $$

предложенных Someone, то я с такими ни разу не встречался. Непродолжительная медитация над ними приводит меня к выводу, что эти формулы, безусловно, можно рассматривать как определение сложения на натуральных числах, однако на случай произвольных ординалов это определение не обобщается.

Безусловно, не обобщается. Но изначально речь шла о натуральных числах. И я просто переписал в других обозначениях то, что предложил AD, так что авторство за ним.

[AD]

Гг. А всё потому, что я поленился заглянуть в тетрадку за точной формулировкой и написал первое, что пришло в голову.