Матрица линейного оператора

[fronnya]

Уже прочитал эту тему в нескольких учебниках, в интернете, на википедии, не понял абсолютно ничего. В чем хотя бы общая идея? Откуда эта матрица берется?

[provincialka]

Из разложения по базису исходного и результирующего векторов. Нет базисов -- нет матрицы.

[fronnya]

А что за исходный и результирующий вектор? Они раскладываются по одному и тому же базису отдельно?

[provincialka]

fronnya в сообщении #987929 писал(а):

А что за исходный и результирующий вектор? Они раскладываются по одному и тому же базису отдельно?

А это зависит от того, откуда и куда действует линейный оператор. Напишите это подробнее.

[fronnya]

Ну я даже не знаю, что писать. Вот разложение вектора по базису в некотором ЛП:

$$\vec{x}=x^k\vec{e}_k$$

Ну возьмем какой-нибудь оператор и подействуем на этот вектор в данном базисе:

$$P\vec{x}=x^k P\vec{e}_k$$

И что ?

[provincialka]

Нет, я не про разложение по базису. Что такое линейный оператор? Раз оператор -- значит, отображение. Из какого множества в какое? Введите хоть обозначения

[Hasek]

Пусть у Вас есть некое пространство с фиксированным базисом и есть некий линейный оператор. Вы поочередно действуете этим линейным оператором на все базисные векторы и получаете какие-то новые векторы. Вот в $i$-ом столбце матрицы линейного оператора стоит разложение $i$-го нового вектора по старому базису (в $j$-ой строке этого столбца коэффициент перед $j$-ым старым базисным вектором). Так получается матрица конкретного линейного оператора.

[fronnya]

Давайте с самого начала. Определение линейного оператора я знаю. Пусть $V$ и $V'$- линейные пространства над полем $P$. Отображение $A:V \to V'$ называется линейным оператором, если выполняется:

$$\forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in P: A(\alpha\vec{x}+\beta\vec{y})=\alpha A\vec{x}+\beta A\vec{y}$$

Что ещё следует ввести?

[provincialka]

Еще два базиса: один в $V$, другой в $V'$. Например, $\{\mathbf{e}_k\}$ и $\{\mathbf{e}'_l\}$. Причем размерность пространств может не совпадать.

Теперь пусть $x\in V$, и $y=A(x) \in V'$. Каждый из векторов можно разложить по соответствующему базису. Пусть $x=x^k\mathbf{e}_k$. Здесь использовано соглашение Эйнштейна. Знаете, что это значит?

А теперь распишите $A(x)$ с учетом линейности

[Nurzery[Rhymes]]

Hasek в сообщении #987936 писал(а):

Пусть у Вас есть некое пространство с фиксированным базисом и есть некий линейный оператор. Вы поочередно действуете этим линейным оператором на все базисные векторы и получаете какие-то новые векторы. Вот в $i$-ом столбце матрицы линейного оператора стоит разложение $i$-го нового вектора по старому базису (в $j$-ой строке этого столбца коэффициент перед $j$-ым старым базисным вектором). Так получается матрица конкретного линейного оператора.

Выглядит как рекурсия) Чтобы подействовать оператором на векторы базиса, надо знать матрицу этого оператора. Чтобы задать матрицу оператора, надо подействовать им на векторы базиса и записать результат в столбцы.

[fronnya]

provincialka в сообщении #987942 писал(а):

Знаете, что это значит?

Да, по повторяющимся индексам суммирование идет. Так формулы короче.

-- 09.03.2015, 21:24 --

provincialka , $y=A x^k e_k=x^k A e_k$ так?

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #987943 писал(а):

Чтобы подействовать оператором на векторы базиса, надо знать матрицу этого оператора

Абсолютно нет. Оператор может быть задан независимо от этого. Например, проектор на подпространство. И вообще, это теоретическое рассуждение.

-- 09.03.2015, 22:30 --

fronnya в сообщении #987945 писал(а):

$y=A x^k e_k=x^k A e_k$ так?

Да, так. А ведь $A e_k\in V'$ можно разложить по базису этого пространства. Запишите.

-- 09.03.2015, 22:32 --

(Оффтоп)

Вообще говоря, лучше векторы $\mathbf{e}_k$ обозначать другим шрифтом, чем числа (координаты)

[fronnya]

provincialka, $A e_k=x_k^j A e_j$, так?

[provincialka]

Нет, зачем. Во втором пространстве свой базис, штрихованный. Он не обязан быть образом базиса $\{\mathbf{e}_k\}$. В нем может быть даже больше элементов (а может и меньше). И еще. Не надо обозначать коэффициенты через $x$: эта буква связана с аргументом. Лучше писать $a_k^j$, ведь это как раз и будут компоненты матрицы оператора $A$.

[fronnya]

Вы просили разложить $A e_k$ по базису в пространстве $V'$?