Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма.

[Henrylee]

Подытожим. Все, что написано выше, можно было написать в 2 строчки:
1. Для каждого $k$ положим $X=k^2-1$, $Y=2k$.
Непонятно зачем снова ограничивать множесто рассматриваемых пар $(X,Y)$
2. Для каждой из рассматриваемых пар $(X,Y)$ определим так называемый БР - последовательность $\{Z_n(X,Y)\}$ такую, что $Z_n(X,Y)=\sqrt[n]{X^n+Y^n}$.
Оставим пока для чего это нужно, но зачем выдумывать разные термины простым вещам.


PS Хотелось бы увидеть комментарии на мой предыдущий пост. Причем, этот пост комментировать не обязательно.

[Brukvalub]

Henrylee писал(а):

PS Хотелось бы увидеть комментарии на мой предыдущий пост.

А мне - на мой предыдущий пост.

[Семен]

Henrylee писал(а):

Семен писал(а): Рассматривать будем совместно для n =2 и n =5.
Дано: $Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $,
$ X, Y $ – натуральные числа.
Brukvalub прав, во-первых это абсурд, в такой записи это не выполняется ни при каких положительных $ZX Y $, тем более для целых. Во-вторых, у Вас там дальше кажется есть $Z_2$
и $Z_5 $. Поэтому первые две строчки вообще надо убрать.
Без этих двух строк дальше все понятно, тривиально и обсуждалось раньше.

$Z_2$ и $Z_5 $ элементы одного и того же множества. Почему я их не могу написать рядом?
Оставляю, как написал.

Henrylee писал(а):

Семен писал(а):
Предположим, что в (6) $Z_2$ - натуральное число.
Этим предположением Вы автоматически исключаете из рассмотрения все пары $ X, Y $, для которых $Z_2$ не целое.
[quote=”Henrylee”] При любом предположении $Z_2$ фактически может быть не только натуральнвм, но и добным (рац.) и иррац. числами.

Я ничего не исkлючаю. Главная задача - сначала рассмотреть вариант с натуральными $Z_2$ в БР, а затем уже решать проблемы с дробными (рац.) корнями, что в док-ве имеется
[quote=”Henrylee”] Ну а дальше Вы делаете еще одно предположение:
Семен писал(а):
Предположим, что и в (6а) $Z_5$ - натуральное число.
Таким образом, Вы делаете предположение о разрешимости уравнения Ферма для некоторых пар $ X, Y $.
Дальше уже не важно, придете Вы к противоречию или нет - к ТФ это уже не относится. Поэтому читать не стал. Давайте остановимся на этом месте. Прокомментируйте Ваши предположения. Либо обоснуйте, либо выбросьте их. [/quote]
Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар $ X, Y $. Я делаю это, чтобы доказать ложность зтого предположения.
[quote=”Henrylee”]Подытожим. Все, что написано выше, можно было написать в 2 строчки [/quote]
Я старался, чтобы было понятней.

[Henrylee]

Семен писал(а):

$Z_2$ и $Z_5 $ элементы одного и того же множества. Почему я их не могу написать рядом?
Оставляю, как написал.

Писать Вы их можете хоть по диагонали. Главное при этом не надо обозначать их одной и той же буквой $Z$. Раз пИшите игдексы, то и пишите их везде, где надо. А то мы и посчитали, что это одно и то же число, т.е. $Z_2=Z_5$, а этого быть не можт. Кстати, Вы не ответили на пост Brukvalubа (он как раз об этом). Это и понятно - отвечать Вам нечего. Вот на этом этапе Вы согласны, что не правы?

Семен писал(а):

Я ничего не исkлючаю. Главная задача - сначала рассмотреть вариант с натуральными $Z_2$ в БР

Что Вам это даст? В чем Вы убедитесь? Что Вы получите в результате?


PS

Семен писал(а):

Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар .
Я делаю это, чтобы доказать ложность зтого предположения.

Вот такими фразами, Вы настраиваете людей против себя, ибо им начинает казаться, что Вы их за идиотов держите.
Кроме того, Ваше предположение о разрешимости для ВСЕХ пар я в тексте не увидел. Если оно есть, то глубоко зарыто за баррикадами тривиальных и ненужных слов и формул. Вытащите его на поверхность.

[TOTAL]

Семен писал(а):

Поэтому $Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ (2) и $ Z_5 =$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ (2a) являются элементами одного Подмножества.

Какого Подмножества?
Опишите, из каких чисел состоит это Подмножество.
Что общего у чисел вида $Z_2 =$\sqrt[]{X^2+Y^2}$ $ и чисел вида $ Z_5 =$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $?

[Семен]

Здравствуйте, Хенрули и ТОТАЛ!
1.

Henrylee писал(а):

Семен писал(а): Z_2 $ и Z_5 $
элементы одного и того же множества. Почему я их не могу написать рядом?
Оставляю, как написал.

Писать Вы их можете хоть по диагонали. Главное при этом не надо обозначать их одной и той же буквой . Раз пИшите игдексы, то и пишите их везде, где надо. А то мы и посчитали, что это одно и то же число, т.е. , а этого быть не можт. Кстати, Вы не ответили на пост Brukvalubа (он как раз об этом). Это и понятно - отвечать Вам нечего. Вот на этом этапе Вы согласны, что не правы?

Не согласен! Посмотрите. Я написал в ответе Z_2 $ и Z_5 $. В комментарии была опечатка. К сожалению, только сейчас заметил. Но, даже с опечаткой, нельзя считать, что
$ $\sqrt{X^2+Y^2}$ $=$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $, тем более такому специалисту, как Брюквалюб. В крайнем случае, считать неясным и уточнить у автора. Но, почему-то, Брюквалюбу захотелось понять так. Прочитав только 2-е строчки, он моментально состряпал ответ в оскорбительной форме. Если я дам ему ответ, которого он заслуживает, то меня выгонят из Форума. Всем заявляю: «Критикуйте, уничтожьте док-во, но меня не смейте оскорблять!» Для меня Честь дороже всего. Честь имею!
2.

Henrylee писал(а):

Семен писал(а):

Я ничего не исkлючаю. Главная задача - сначала рассмотреть вариант с натуральными Z_2 $ в БР
Что Вам это даст? В чем Вы убедитесь? Что Вы получите в результате?
Семен писал(а):
Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар .
Я делаю это, чтобы доказать ложность зтого предположения.
Кроме того, Ваше предположение о разрешимости для ВСЕХ пар я в тексте не увидел. Если оно есть, то глубоко зарыто за баррикадами тривиальных и ненужных слов и формул. Вытащите его на поверхность.

Через несколько дней представлю резюме по состоявшейся дискуссии, где постараюсь ответить на эти и другие вопросы.

3.

Henrylee писал(а):

Семен писал(а):
Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар .
Я делаю это, чтобы доказать ложность зтого предположения.
Вот такими фразами, Вы настраиваете людей против себя, ибо им начинает казаться, что Вы их за идиотов держите.

Мне это даже в голову не могло прийдти. Я не для того обратился к участникам Форума за помощью. Я всех прошу понять, что я защищаю доказательство. Кто же это сделает кроме меня? Я защищаю его, как Мать ребёнка, пусть плохого, больного, но своего.
За что же на меня обижаться?
4.

TOTAL писал(а):

Семен писал(а):
Поэтому $ $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ (2) и $\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ (2a) являются элементами одного Подмножества.

Какого Подмножества?
Опишите, из каких чисел состоит это Подмножество.
Что общего у чисел вида $ Z_2= $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ и чисел вида
$ Z_5= $\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $ ?

Уважаемый ТОТАЛ, я очень сожалею, что согласился на рассмотрение частного случая, т.к. его док-во на данном этапе преждевременно, потому что в нём рассматриваются вопросы, не освещённые в вступительной части док- ва, в §1 и в §2.
Общим, у элементов вида $ $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ и $\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $, является то, что они имеют одни и те же численные значения $ X, Y $ и являются элементами одного Подмножества $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, в которое, кроме них, входят следующие элементы: $ Z_1, Z_3, Z_4,…, Z_n, $ с такими же численными значениями $ X, Y $. А отличаются они друг от друга показателем степени $ n $.
PS. Пётр Í наказывал своих подданных за грамматические ошибки. Однажды он сам написал- Птр. С тех пор перестал их наказывать.

[PAV]

PAV:

Семен,

не коверкайте ники пользователей и не переводите их на русский язык. Кроме того, предупреждаю, что Ваш последний пост на грани допустимого на этом форуме. Личные наезды на участников форума будут наказаны.

[Henrylee]

Семен писал(а):

Не согласен! Посмотрите. Я написал в ответе Z_2 $ и Z_5 $. В комментарии была опечатка. К сожалению, только сейчас заметил. Но, даже с опечаткой, нельзя считать, что
$ $\sqrt{X^2+Y^2}$ $=$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $, тем более такому специалисту, как Брюквалюб. В крайнем случае, считать неясным и уточнить у автора. Но, почему-то, Брюквалюбу захотелось понять так.

Неправда. Вы нписали следующее

Семен писал(а):

Дано: $Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $

Естественно, рецензент читает, что написано (а не то, что у Вас в голове или что подразумеваете). Так что Brukvalub полностью прав (насчет формы судить не берусь, я про содержание). Тем более, что Вы после этого дали такой ответ

Семен писал(а):

Почему не может быть $Z^2 =15^2 +8^2 (1), Z^5 =15^5 +8^5 (1a) $

(т.е. опять с "опечаткой").

Семен писал(а):

За что же на меня обижаться?

Никто не обижается. Просто Вы даете ответы (и разъяснения) на вопросы, которых Вам не задавали. Еще точнее, спрашивают Вас об одном, а отвечаете Вы о другом.

PS Прочел Ваш ответ TOTALу, комментировать не стал.

Добавлено спустя 8 минут 27 секунд:

На данный момент меня лично интересуют следующие вопросы:

Семен писал(а):

Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар $ X, Y $.

1. Где именно (в Вашем тексте) Вы делаете это предположение? И что у Вас из этого предположения следует? (NB Заметьте, я не спрашиваю Вас для чего, я спрашиваю где! Этим замечанием я перестраховываюсь от Вашего ответа на вопрос, который я не задавал)
2. Что (конкретно: какой математический или логический вывод/результат) Вы получаете, рассматривая случай $n=2$?

[TOTAL]

Семен писал(а):

Общим, у элементов вида $ $\sqrt{X^2+Y^2}$ $ и $\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $, является то, что они имеют одни и те же численные значения $ X, Y $ и являются элементами одного Подмножества $Z_n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, в которое, кроме них, входят следующие элементы: $ Z_1, Z_3, Z_4,…, Z_n, $ с такими же численными значениями $ X, Y $. А отличаются они друг от друга показателем степени $ n $.

Означает ли это, что Вы утверждаете, что если некое рациональное число $Z$ может быть представлено в виде $Z=\sqrt{X^2_1+Y^2_1}$, то это же число может быть представлено в виде $Z=\sqrt[5]{X^5_2+Y^5_2}$? И наоборот? (Все числа под радикалами - рациональные!)
Что касается всех Ваших параграфов, которые, как Вы считаете, необходимо освоить, чтобы понять написанное Вами про частный случай, то поймите, наконец, что вся проблема читающего Ваши тексты и разговаривающего здесь с Вами состоит в том, что невозможно понять, что Вы утверждаете. Если человек не видит смысла в одном Вашем предложении, то Вам не заставить его прочитать целый параграф! С одной стороны, Вы просите помочь найти в Ваших рассуждениях ошибку, с другой стороны, Вы упорно мешаете оказать Вам такую помощь, не отвечая на вопросы и выражаясь исключительно туманно.

Вот Вам пример утверждения, которое бы я понял:
Зафиксируем рациональные числа $X, Y$ и множество всех чисел вида $\sqrt[n]{X^n+Y^n} $, $n=1,2,3,...$ обозначим $Z(X, Y)$.

А Вы что имеете в виду? Это же? Или что-то другое?

[Brukvalub]

Не хотел и дальше ввязываться в бесполезные обсуждения неизвестно чего, но все же решил к вечеру чуть-чуть размять пальцы. Итак, для начала почитаем:

Семен писал(а):

Прочитав только 2-е строчки, он моментально состряпал ответ в оскорбительной форме. Если я дам ему ответ, которого он заслуживает, то меня выгонят из Форума. Всем заявляю: «Критикуйте, уничтожьте док-во, но меня не смейте оскорблять!» Для меня Честь дороже всего. Честь имею!

Это про меня написано, я пасквиль состряпал, а участник с ником Семен глупостей не писал, я их за него придумал. Теперь почитаем сам мой оскорбительный ответ:

Brukvalub писал(а):

Семен писал(а):
Дано: $Z^2 =X^2 +Y^2 (1), Z^5 =X^5 +Y^5 (1a) $
Уже это предположение абсурдно и к утверждению ПТФ отношения не имеет. Дальше можно не читать.

На мой взгляд, даже тургеневской барышне, воспитаннице Смольного института благородных девиц, ничто мной сказанное не должно показаться оскорбительным.
А вот я как раз считаю лично для себя вызывающе оскорбительным все высказывания участника с ником Семен, начиная с названия темы. Поясню:
1.За прошедшие со времени самого Ферма столетия, немало воистину блестящих умов (например, непревзойдённый гений математики Л.Эйлер) бились над доказательством т. Ферма. Но успеха не достигли, хотя бином Ньютона знавали. Поэтому само название темы считаю вызывающе издевательским.
2. За тысячелетнюю историю развития математика выработала свой собственный язык и культуру изложения на этом языке математических рассуждений. Этой культуре нужно учиться, например, я посвятил такой учебе 2 последних школьных года, 5 институтских и 3 аспирантских года учебы. Но, не пойму, почему некоторые люди считают себя вправе, ничему толком не учась, навязывать свои длинные косноязычные "доказательства ни о чем", не утруждаясь структурировать их, да и,вообще, не пытаясь для начала немного поучиться излагать свои мысли логически связно.
Конечно, этим людям некогда учиться элементарным вещам, ведь они сделали эпохальное открытие - смогли так ловко применить Бином Ньютона, как Эйлеру и не снилось. Теперь профессионалы должны все бросить и срочно разбираться в этом хаосе и мешанине формул... Это я тоже считаю нанесением оскорбления математикам-профессионалам.
3.Вместо признания своей ошибки в тексте, участник с ником Семен начинает всячески выкручиваться, перекладывая свою вину на других участников дискуссии - его не так поняли, вовремя не переспросили, прямо навязывая им удобный для него стиль поведения. В общем, "виноват не я, а снег за окном", всем слушать мою команду:

Семен писал(а):

Но, даже с опечаткой, нельзя считать, что
$ $\sqrt{X^2+Y^2}$ $=$\sqrt[5]{X^5+Y^5}$ $, тем более такому специалисту, как Брюквалюб. В крайнем случае, считать неясным и уточнить у автора.

(выделение - мое). Такое поведение я тоже считаю непозволительным и оскорбительным для себя.
Не желая и далее получать оскорбления от участника с ником Семен, я выхожу из этой дискуссии.

[shwedka]

Brukvalub писал(а):

Такое поведение я тоже считаю непозволительным и оскорбительным для себя.

Дуэль, только дуэль!!! Дамы приготовили платочки.

Семен писал(а):

Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар $ X, Y $.

В жаре взаимных обвинений, никто не объяснил Семену,
что он, пытаясь доказывать от противного, предполагает НЕ утверждение, противоположное утверждению Ферма.
Гн. Семен, опровержением ТФ было бы утверждение о разрешимости уравнения для некоторых пар $ X, Y $ и хотя бы для одного $n$. Из ошибочности именно этого утверждения следовала бы ТФ. A так у Вас получается доказательство не от противного, а от очень противного.

[Brukvalub]

shwedka писал(а):

Гн. Семен, опровержением ТФ было бы утверждение о разрешимости уравнения для некоторых пар $ X, Y $ и хотя бы для одного $n$.

я бы добавил: n>2.

[TOTAL]

shwedka писал(а):

... никто не объяснил Семену, что он, пытаясь доказывать от противного, предполагает ...

shwedka думает, что знает, что именно Семен пытается доказать , как доказать и что предполагает.
Ну-ну! Блажен, кто верует!

[Алексей К.]

Семен писал(а):

Алексей К. из ПротИвино писал(а):

...

shwedka писал(а):

...A так у Вас получается доказательство не от противного, а от очень противного.

[Семен]

TOTAL писал(а):

Означает ли это, что Вы утверждаете, что если некое рациональное число может быть представлено в виде $Z=$\sqrt[]{X_1^2+Y_1^2}$ $ , то это же число может быть представлено в виде $Z =$\sqrt[5]{X_2^5+Y_2^5}$ $ ? И наоборот? (Все числа под радикалами - рациональные!)

$Z_2 =$\sqrt[]{X_1^2+Y_1^2}$ $ и $Z_5 =$\sqrt[5]{X_2^5+Y_2^5}$ $ относятся к разным Подмножествам. Рациональное число $Z_2 =$\sqrt[]{X_1^2+Y_1^2}$ $ и рациональное число $Z_2 =$\sqrt[]{X_2^2+Y_2^2}$ $ могут быть представлены в таком виде, если пары $ (X_1, Y_1) $ и $ (X_2, Y_2) $, определялись по уравнениям (14) и (15), рассматриваемого доказательства, где $ k_2 $ – рациональное число. $Z_5 =$\sqrt[5]{X_1^5+Y_1^5}$ $ и $Z_5 =$\sqrt[5]{X_2^5+Y_2^5}$ $ не могут быть рациональными ни при каких рациональных сочетаниях $ (X_1, Y_1) $ и $ (X_2, Y_2) $,.

TOTAL писал(а):

Вот Вам пример утверждения, которое бы я понял:
Зафиксируем рациональные числа $ (X, Y) $ и множество всех чисел вида $Z^n =$\sqrt[n]{X^n+Y^n}$ $, $n=1, 2, 3,…$ обозначим $ Z (X, Y) $.

А Вы что имеете в виду? Это же? Или что-то другое?

Я имею в виду именно это. Но считаю, что нужно заменить «рациональные»
на «натуральные». Z надо писать с индексом, т.е. $ Z_n(X, Y) $ и добавить: $ (X> Y) $. Так принято в док-ве.

Henrylee писал(а):

….. Естественно, рецензент читает, что написано (а не то, что у Вас в голове или что подразумеваете). Так что Brukvalub полностью прав (насчет формы судить не берусь, я про содержание). Тем более, что Вы после этого дали такой ответ
Семен писал(а):
Почему не может быть $Z^2 =15^2+8^2, (1) Z^5 =15^5+8^5 (1a) $
(т.е. опять с "опечаткой").

Опечатка двойная, т.к. я её не заметил, а при ответе скопировал ранее допущенную опечатку. Но, даже имея большую фантазию, нельзя не заметить, что в (1) это читается так: «Зэт в квадрате равно пятнадцать в квадрате плюс восемь в квадрате.»
Не сложно подсчитать, что в этом случае Зэт в квадрате=225+64=289, а Зэт=17. Думаю, что ни у кого не возникнет сомнения, что здесь имеет место $ Z_2 $ и ничто другое.
Нельзя не заметить, что в (1а) это читается так: «Зэт
в пятой степени равно пятнадцать в в пятой степени плюс восемь в пятой степени. » Не сложно подсчитать, что в этом случае Зэт в пятой степени =759375+32768=792143, а Зэт=15.127…. Думаю, что ни у кого не возникнет сомнения, что здесь имеет место $ Z_5 $ и ничто другое.

Henrylee писал(а):

Неправда. Вы нписали следующее Семен писал(а): Дано:$Z^2 =15^2+8^2, (1) Z^5 =15^5+8^5 (1a) $

Посмотрите мой ответ Вам от 27.01, там - $ Z_2 $ и $ Z_5 $
Если не возражаете, закроем это недоразумение.

Henrylee писал(а):

1. Семен писал(а):Я делаю предположение о разрешимости уравнения Ферма для всех пар $ ( X, Y )$

Где именно (в Вашем тексте) Вы делаете это предположение .? И что у Вас из этого предположения следует? (NB Заметьте, я не спрашиваю Вас для чего, я спрашиваю где! Этим замечанием я перестраховываюсь от Вашего ответа на вопрос, который я не задавал)

В §1 есть такая фраза: » Предположим, что в М-ве (3) $ Z_n $- натуральное число. » Используя это предположение, по уравнениям (14) и (15), находим натуральные пары $X $ и $ Y $, доказываем, на мой взгляд, ошибочность предположения, что $ Z_3,...,Z_(n-1), Z_n $ могут быть натуральными числами в Базовом ряду.
1. Вот две выписки, скопированные из §2: » Для определения натуральных $X $ и $ Y $ в БР назначают натуральное число $ k_2>= 3 $, затем находят, для Базового ряда, $ X =( k_2^2 -1), Y=2*k_2, Z_2=(k_2^2+1) $. В Базовый ряд входят $ Z_1, Z_2, Z_3,...,Z_(n-1), Z_n $. »
2. «Прежде, чем приступить к следующему этапу доказательства, представляется очень важным ещё раз подчеркнуть, что полученная в БР, в ур-нии (17), зависимость между $ X $ и $ Y $ сохраняется и для $ Z_3, Z_4, Z_5,..., Z_n $.»

Вот выписки, скопированные из §3:
1. «Так как в БР $ m_2=2 $, то проверим на рациональность, в уравнении (9), корень $ m_3=Y/k_3 =1 $ с показателем степени $ n=3 $. Тогда это уравнение примет следующий вид:
$ m_3^3+3*X*m_3^2 +3*X^2* m_3-Y^3 = 0 $ (19).
1.1 Определим численные значения $ X$ и $ Y$, приняв $ k_2=3$ и $ k_2= 4$, используя уравнения (14) и (15).
1.1.1 Для $ k_2=3: X=8, Y=6$.
Подставив в (19) $ m_3=1, X= 8, Y = 6$, получим:…
1.1.2 Для $ k_2=4: X=15, Y=8$.
Подставив в (19) $ m_3=1, X=15, Y=8$, получим:….

2. Теперь требуется доказать, что в Базовом ряду рац. корень $m_n =Y/k_n$ не может быть рац. корнем в ур-нии (9) с показателем степени $n=4$. ….
Так как в БР $ m_2=2 $, то проверим на рациональность, в уравнении (9), корень $ m_4=Y/k_4=1 $ с показателем степени $ n=4 $. Тогда это уравнение примет следующий вид:
$m_4^4+4*X*m_4^3+6*X^2*m_4^2+4*X^3*m_4- Y^4=0 $ (20).
2.1 Рассмотрим уравнение (9), приняв $k_2 = 3, k_2 = 4$:
2.1.1 Для $ k_2 = 3$:
Подставив в (20): $ m_4= 1, X= 8, Y = 6$, получим:…
2.1.2 Для $ k_2 = 4$:
Подставив в (20) $ m_4= 1, Х = 15, Y = 8$, получим:»

3. «….. А особенно, разница между положительной и отрицательной частями этих уравнений растёт при одновременном возрастании $ k_n$ и $n$. »

Выписки, скопированные из §4
1. «Сравнивая одновременно уравнения (19), (20) и ( 9 ), причём, учитывая, в положительной части этих уравнений только один (наибольший) элемент уравнения, и сравнивая его со всей отрицательной частью соответственных уравнений, имеем:
$ 3*(k_2^2 - 1)^2*1- (2*k_2)^3 =0 $ (19а)
$ 4*(k_2^2 - 1)^3*1 - (2*k_2)^4=0 $ (20a)
$(n-1)*$(k_2^2-1)^{n-2}$*1 - $(2*k_2)^{n-1}$=0$ (9a)
$ n*$(k_2^2-1)^{n-1}$*1 - (2*k_2)^n =0 $ (9b) »

2. “В уравнениях ( 19а), (20а), (9а) и (9b) :
$ X=(k_2^2-1), Y=2*k_2$. Учитывая, что в Базовом ряду $ m_2=2$, принимаем, что: в этом же ряду или
$m_3=1$, или $m_4=1$,..., или
$ m_n-_1=1$, или $ m_n=1$. ”
Во всех этих выписках присутствует упоминание пар $ ( X, Y )$ или их выражение через уравнения (14), (15).
Если Вы решите, что слишком обширен ответ, то не читайте его весь. Если Вы посчитаете, что он неконкретный или неясный, то не обижайтесь, если я не так понял Ваш вопрос.
2.

Henrylee писал(а):

Что (конкретно: какой математический или логический вывод/результат) Вы получаете, рассматривая случай $ n=2 $.?

Получаем Подмножество, названное - Базовый ряд. Получаем уравнения (14) и (15), определяем коэф. Базового ряда - $ k_2$, который равен $ Y/2$, определяем в Базовом ряду - $ m_2$, определяем в Базовом ряду - $ Z_2$.
Всё это позволяет определить в Базовом ряду натуральные пары $ ( X, Y )$ и $ m_n $, что используется в доказательстве ТФ.