Преобразование и параметрическое задание функций

[PSP]

Пусть функции заданы параметрически:

$$x=f_1(s),y=f_2(s)$$

и пусть имеется преобразование

$$x'=F_1(x,y),y'=F_2(x,y)$$

.
В каких случаях можно утверждать, что существеут зависимость

$$x'=f_1(s'),y'=f_2(s')$$

и какова зависимость

$$s'=f_3(s)$$

?

[PAV]

А это разве не очевидно, если подставить выражения $x=f_1(s)$ и $y=f_2(s)$ в преобразования $F_1$ и $F_2$
Получим сразу параметрическое задание новых переменных через исходый параметр $s$ и никакого $s'$ не нужно.

[Brukvalub]

PSP писал(а):

В каких случаях можно утверждать, что существеут зависимость

$$x'=f_1(s'),y'=f_2(s')$$

В условии требуется, чтобы зависимость записывалась "старыми" функциями.

[PSP]

Brukvalub писал(а):

PSP писал(а):

В каких случаях можно утверждать, что существеут зависимость

$$x'=f_1(s'),y'=f_2(s')$$

В условии требуется, чтобы зависимость записывалась "старыми" функциями.

Именно это я и имел в виду!

[Henrylee]

Видимо, должно выполняться равенство (и существование выражений)

$$ f_3(s):=f_1^{-1}\left[F_1\left(f_1(s),f_2(s)\right)\right]=f_2^{-1}\left[F_2\left(f_1(s),f_2(s)\right)\right] $$

для всех $s$.
(достаточность выполняется кажется)

Добавлено спустя 2 часа 48 минут 38 секунд:

PS под "существованием выражений" подразумевал обратимость функций $f_1$ и $f_2$
Ну и для уточнения нужно четко понимать, на каких множествах какие-функции действуют.

[Алексей К.]

Позволю себе протелепатировать, что $s$ и $s^\prime$ --- натуральные параметры; что PSP нас на этот раз пощадил и позволил спуститься в 2D, и потому о винтовых линиях умалчивает, но в голове их держит...
И если речь идёт действительно о длине дуги, то ничего нового, кроме движений и зеркальностей в $F_{1,2}(x,y)$ быть не может. Инверсия и подобные ей штуки здесь не катют.

См. также сабж...

ЗЫ: Но даже для переносов формулировка сомнительна: $f_1(s)$ превратится в $f_1(s)+C_1$...

Добавлено спустя 18 минут 49 секунд:

Пытаясь уточнить формулировку, делаю это так (и стараюсь обойтись без штрихов --- вдруг люди дифференцировать начнут?):
Даны функции $x=f(s),y=g(s)$, а также $F(x,y)$ и $G(x,y)$.
Найти функцию $l(s)$, такую, чтобы для
$u(s)\equiv F(f(s),g(s))$ и $v(s)\equiv G(f(s),g(s))$
выполнялось
$u(s)=f(l(s))$ и $v(s)=g(l(s))$.


Правильно понято?

[PSP]

Алексей К. писал(а):

Позволю себе протелепатировать, что $s$ и $s^\prime$ --- натуральные параметры; что PSP нас на этот раз пощадил и позволил спуститься в 2D, и потому о винтовых линиях умалчивает, но в голове их держит...
И если речь идёт действительно о длине дуги, то ничего нового, кроме движений и зеркальностей в $F_{1,2}(x,y)$ быть не может. Инверсия и подобные ей штуки здесь не катют.

См. также сабж...

ЗЫ: Но даже для переносов формулировка сомнительна: $f_1(s)$ превратится в $f_1(s)+C_1$...

Добавлено спустя 18 минут 49 секунд:

Пытаясь уточнить формулировку, делаю это так (и стараюсь обойтись без штрихов --- вдруг люди дифференцировать начнут?):
Даны функции $x=f(s),y=g(s)$, а также $F(x,y)$ и $G(x,y)$.
Найти функцию $l(s)$, такую, чтобы для
$u(s)\equiv F(f(s),g(s))$ и $v(s)\equiv G(f(s),g(s))$
выполнялось
$u(s)=f(l(s))$ и $v(s)=g(l(s))$.


Правильно понято?

Телепат Вы хороший!!Всё правильно!