Почему в теореме Кантора число полагается непротиворечивым?

[aa_dav]

Предыстория тут: topic94441.html

Для начала давайте еще раз пробежимся по основным моментам.
Первое: пытаемся построить аналогичное Кантовскому доказательство для "обоснования" несчетности нечетных (разумеется неверное, но нам важно понять - почему).
Строим табличку в которой выписаны нечетные от 1 до $N$, замечаем что можно выписать нечетное первая цифра которого не равна первой цифре первого (но делится на 2!), вторая цифра не равна второй цифре второго и т.д. Замечаем, что для любого конечного $N$ такое число может быть построено и оно тоже конечно и всецело удовлетворяет определению нечетного, т.е. имеем корректное утверждение "для любого $N$ существует нечетное не входящее в список".
Здесь нет ничего противоестественного - для тех кто сразу пытался "взять в штыки" в прошлой теме по схеме "да у вас там бесконечные последовательности цифр!", нет, это не так, это всё равно что верно утверждение "для любого целого найдется большее", никаких бесконечных цифирей тут нет и вопрос это элементарный.
Другое дело, что хотя и "для всех целых найдется большее", но в то же самое время - и это очень важно - "не существует целого, большего любого другого, кроме себя". Причём предыдущая мысль доказывается именно из пред-предыдущей, если бы такое число было, то оно вступило бы с ним в противоречие. Вывод: такого числа нет. Построить его всё равно что получить целое, которое не равно ни одному целому, что потребует неравенства самому себе, что невозможно. Замечу - здесь не используются бесконечные цепочки доказательств или цифр - простая логика, потому что меня уже уже раздражает, когда опять таки мне начинают эти вещи вменять в качестве аргументов.
Именно через эквивалентное рассуждение и рассыпается "доказательство" о неисчислимости нечётных - несмотря на то, что "для любого $N$", т.е. для любой таблички, найдётся нечетное в неё не вписанное, но не существует нечётного не вписанного ни в одну табличку. Опять таки, не потому что мы какие бесконечные рекурсии заводим или бесконечные последовательности цифр выводим, а потому что нечетное, не равное хотя бы в одной цифре любому нечётному, включая само себя, это противоречие в определении.
Таким образом наше "доказательство" рассыпалось.

Переходим к теореме Кантора.
И вот ведь какое дело - она взялась доказывать то, что не все вещественные на отрезке $(0;1)$ входят в пронумерованную табличку тем, что строит число, которое в такой табличке "для всех $N$" не находится. Но мы то уже понимаем - что это еще не конец, надо теперь еще доказать, что такое число действительно существует, а не рассыпается от противоречивости своего построения, как мы уже прекрасно видели в примерах с целыми и нечетными. А может ли быть его построение противоречивым?
Давайте задумаемся. Если мы хоть на секунду предположим, что в табличке оказались действительно все числа с отрезка $(0;1)$, то требование выписать число, которое ни в одной цифре не равно каждому из них.... да да да, противоречиво. Это то же самое что получить число, принадлежащее отрезку $(0;1)$, которое от любого числа из этого отрезка отлично, т.е., и в т.ч., не равно самому себе.
В отличие от примера с натуральными мы не можем привести процедуру доказывающую, что такое число действительно не существует. Действительно, опять таки, не надо мне вменять, что я доказываю, что вещественные исчислимы и прочие фричества. Я лишь говорю о том, что мы не замкнули доказательство доказательством того, что такое число действительно существует, т.к. еще на натуральных видели к чему это может привести.
Я лишь имею претензии к тому, что широко растиражированное доказательство неполно без этой части.
И опять таки, повторяю, проблема не в том, что в вещественных бесконечность цифр - вообще не про это речь. Речь о том, что если бы отрезок на самом деле был перечислен, то требовать построить такое число есть требование противоречивое и потому оно не может быть использовано как доказательство.

Поэтому, я считаю, что мы находимся в позиции человека, которому сказали что на острове Крит по многовековой традиции брадобрей бреет бороды всем, кто не может из побрить самостоятельно и мы вроде бы и доказали, что этот брадобрей - несомненно - женщина. Если он существует. Но есть еще вариант, что на острове кроме камней и чаек уже и нет никого и этот вариант пресекает осмысленность попыток вывести пол брадобрея. Так собственно как мы можем определить какой из вариантов актуален? Где это сделано?

Я уже заметил, что этот вопрос неоднократно в разных формах поднимался, но вот в такой еще не видел, форма понятная 7-класснику и собственно ожидаю столь же простого ответа, если что то я неправильно вывел.

[ИСН]

aa_dav в сообщении #986411 писал(а):

Здесь нет ничего противоестественного - для тех кто сразу пытался "взять в штыки" в прошлой теме по схеме "да у вас там бесконечные последовательности цифр!", нет, это не так

Это так. Допустим, числа были пронумерованы по порядку. Вы дошли до числа номер 10 и тем самым до цифры номер 10. У этого числа она 0, разумеется. На что Вы её замените? На 0 нельзя. Будет не 0. Вот уже Ваше число имеет по крайней мере 10 цифр. И следующая будет не ноль. И следующая за ней тоже. Где остановимся?

[aa_dav]

ИСН в сообщении #986413 писал(а):

Это так. Допустим, числа было пронумерованы по порядку. Вы дошли до числа номер 10 и тем самым до цифры номер 10. У этого числа она 0, разумеется. На что Вы её замените? На 0 нельзя. Будет не 0. Вот уже Ваше число имеет по крайней мере 10 цифр. И следующая будет не ноль. И следующая за ней тоже. Где остановимся?

Нигде же, этого числа не существует, хотя "для любого $N$" можно привести пример такого.

[ИСН]

Вот именно! А что это значит? Что мы все числа пронумеровали, и непронумерованных найти не удаётся. Противоречия нет. Доказательство не прокатывает. У нас счётное множество чисел.

-- менее минуты назад --

Это с натуральными. С действительными не так.

[aa_dav]

Ну вот опять... Мне начинают доказывать то, что я сам подробно расписал в посте.
Такое ощущение, что просто не читают, а какие то опыты прошлых баталий на эту тему переносят в тему.

ИСН в сообщении #986418 писал(а):

С действительными не так.

Вот я и спрашиваю - что не так?

[ИСН]

То, что в этом случае бесконечная последовательность цифр не представляет проблемы. Она обозначает действительное число, какое-то вполне конкретное, одно.

[provincialka]

aa_dav в сообщении #986421 писал(а):

Такое ощущение, что просто не читают,

Да и мудрено прочитать. Многабукаф.

aa_dav в сообщении #986411 писал(а):

Я лишь говорю о том, что мы не замкнули доказательство доказательством того, что такое число действительно существует, т.к. еще на натуральных видели к чему это может привести.

Вопрос упирается в определение вещественного числа. Вы каким пользуетесь? Как связано это определение с представлением чисел бесконечными десятичными дробями?

[AGu]

Уважаемый aa_dav, попробуйте на минуту поставить себя на место математика, читающего Ваш текст. (Вы ведь не математик, правда?) Что видит математик? А видит он, что автор текста считает его идиотом — вместе со всеми остальными математиками. И у математика возникает естественное желание наорать на автора этого текста или плюнуть ему в... эээ... или наплевать на него. Математики — люди интеллигентные, поэтому они выбирают последний вариант и просто игнорируют Ваш текст.

Так вот, если Вы действительно хотите получить ответ от математиков, то прекратите (искренне и открыто) обвинять их в скудоумии, а притворитесь, будто Вы что-то недопоняли в доказательстве теоремы Кантора. Приведите конкретный текст такого доказательства, взятый из какого-нибудь учебника, тыкните пальцем в какое-нибудь конкретное место и спросите: мол, а вот почему это так? Тогда наивные математики, подумав, что Вы их уважаете и просите о помощи, наверняка откликнутся и попытаются объяснить. Как Вы полагаете, у них, конечно же, ничего не получится, они попадут впросак и признают ошибку. А Вы будете гордиться. Не правда ли, здорово? Это ли не Ваша цель?

[aa_dav]

provincialka в сообщении #986425 писал(а):

Вопрос упирается в определение вещественного числа. Вы каким пользуетесь?

Я пользуюсь тем, что построение превращается в "найти число на отрезке $(0;1)$, которое хотя бы в одной цифре отличается от любого числа на этом отрезке".
Понимаю, да, многабукаф. Но их станет еще больше размазанных по теме, если я буду перецитировать написанное в первопосте постоянно.

[odelschwank]

aa_dav в сообщении #986411 писал(а):

Таким образом наше "доказательство" рассыпалось.

Вы приводите неправильное доказательство несчетности целых чисел, потом сами его опровергаете. Какое все это имеет отношение к совсем другому доказательству несчетности отрезка действительных чисел?

[provincialka]

aa_dav в сообщении #986427 писал(а):

Я пользуюсь тем, что построение превращается в

элегантные шорты.
Не надо про построение. Забудьте Кантора. Скажите: что такое вещественное число?

[AlexDem]

(Оффтоп)

AGu в сообщении #986426 писал(а):

Уважаемый aa_dav

Прочитал ник наоборот (надеюсь, не сочтут за искажение) - vad_aa

[aa_dav]

AGu в сообщении #986426 писал(а):

Не правда ли, здорово?

Я уже снёс крест за это своё неразумное поведение, и модератор мне подсказал правильный путь. Поэтому ту тему воспринимайте отдельно от этой. В ней просто и табличка приведена.

[provincialka]

odelschwank в сообщении #986429 писал(а):

Вы приводите неправильное доказательство несчетности целых чисел, потом сами его опровергаете. Какое все это имеет отношение к совсем другому доказательству несчетности отрезка действительных чисел?

Автор имеет в виду, что в теореме о несчетности действительных аналогичная ошибка.

[aa_dav]

provincialka в сообщении #986430 писал(а):

Скажите: что такое вещественное число?

Своими словами - потенциально бесконечная дробь. На вики лазить лень, но заочно по этому мнению я не расхожусь с общепринятыми дефинициями.