2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение07.10.2014, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Ой, да, я глупость написал. Конечно же, нестрого меньше.

(Продолжая предыдущее.) Или вместо $\mathbb Z$ какой-нибудь другой моноид по сложению, если упоминаемые «числа» из задачи брать другие. В случае комплексных чисел придётся просто постулировать, что морфизмом будет прибавление константы, тем более что это и правильнее. Естественное действие моноида самого на себя, или как там его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение07.10.2014, 23:03 


05/09/12
2416
Не могу прокомментировать ваши последние 2 сообщения, потому что не понимаю (и стыдно). Все, что содержит букву $Z$, слова "группа", "изо (ката/эпи/гомо....)", "моноид по сложению" и т.д. Потому как теории групп за плечами тоже нет. Как и теории множеств :oops:

-- 07.10.2014, 23:11 --

Хотя погодите. Я заглянул в шпаргалку и понял, что в последнем посте моноид по сложению имеется в виду не с позиций СТ а с позиций ST:
Цитата:
теоретико-множественное определению моноида:
Моноид – это тройка, состоящая из множества, ассоциативной бинарной операции на этом множестве и элемента, нейтрального относительно этой операции
тогда логично что вы предлагаете операцию сложения, ноль и какое-то числовое множество для задания этой тройки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение07.10.2014, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
Да-да, имел в виду «алгебраический» моноид. Они вот так нехитро и связаны с моноидом-категорией — по морфизму на элемент.

Группа — тот же а. моноид, только там ещё обратные элементы есть всегда. Ну и тогда не читайте про изоморфизмы $(\mathbb Z,<)$, потому что это coincidence. В общем случае никакого порядка нет и не нужен он здесь. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение07.10.2014, 23:32 


05/09/12
2416
Можно ли считать объектом требуемой категории некий числовой аккумулятор, действие морфизма на который будет заключаться в увеличении значения аккумулятора на морфизм-число? Все аксиомы морфизмов есть, единичный-прозрачный тоже, и действие на объект понятно. Ведь если несколько раз действуем например числом 5 на аккумулятор, то его значение меняется, но это все равно одна и та же область и кообласть морфизма как объект? И стартовое значение аккумулятора не имеет значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение07.10.2014, 23:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
_Ivana в сообщении #916363 писал(а):
Можно ли считать объектом требуемой категории некий числовой аккумулятор, действие морфизма на который будет заключаться в увеличении значения аккумулятора на морфизм-число?
Низя. Никакого внутреннего состояния. Если состояние меняется, надо переформулировать так, чтобы не менялось — получится семейство объектов, соответствующих каждый своему состоянию исходного изменяемого.

Можно взять множество таких объектов, о которых вы говорите, со всеми возможными состояниями. Тогда если морфизмом сделать применение одинакового действия к каждому объекту множества, и чтобы ещё это действие было инъекцией, т. е. все результаты были бы разными, то в результате множество останется на месте. Мы приходим как раз к тому, что берём в качестве объекта $\mathbb Z$, а морфизмами — функции $\tau_a = n\mapsto n+a$. $\tau_a(\mathbb Z) \subset \mathbb Z$, так что мы получаем категорию.

-- Ср окт 08, 2014 02:50:54 --

Кажется, я пишу много лишнего.

-- Ср окт 08, 2014 02:52:05 --

Хотел сказать, получаем не просто категорию, а подкатегорию категории Set.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение08.10.2014, 00:01 


05/09/12
2416
Интересный вариант, даже почти все понятно. Кроме мелочей что значит $\mathbb Z$ - множество целых чисел? Оно (по вашему определению) группа, и этого наверное достаточно. При условии что числа-морфизмы тоже целые. Но про те "числа" наверное отдельная тема, пока можем не усложнять.
А скажите, откуда постулат про "никакого внутреннего состояния"? Это то, что называется аксиомой типизации морфизма - что по нему однозначно и полностью определяются область и кооблать со всеми своими характеристиками?

-- 08.10.2014, 00:05 --

arseniiv в сообщении #916371 писал(а):
Кажется, я пишу много лишнего.
Ни в коем случае. Ничего лишнего.
arseniiv в сообщении #916371 писал(а):
Хотел сказать, получаем не просто категорию, а подкатегорию категории Set.
Насколько помню, ее морфизмы - это бинарные ассоциативные операции ("глаголы") на множествах. И это понятно. А морфизмы-числа ("существительные") - непонятно. Но вы хитро из них сделали глаголы через вашу тау-функцию, правда операции получились унарные - на одном множестве-объекте, но с результатом того же типа :) А операция на числах-морфизмах (сумма=композиция) получается композицией тау-функций-глаголов :) И в таком соусе это немного понятнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение08.10.2014, 00:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
_Ivana в сообщении #916373 писал(а):
что значит $\mathbb Z$ - множество целых чисел?
Да.

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):
Оно (по вашему определению) группа, и этого наверное достаточно.
Можно взять даже моноид натуральных чисел.

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):
При условии что числа-морфизмы тоже целые. Но про те "числа" наверное отдельная тема, пока можем не усложнять.
Просто берём тогда множество тех чисел, и делов. (Я это выше писал, но, наверно, не очень ясно изложил.)

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):
А скажите, откуда постулат про "никакого внутреннего состояния"?
Ну это как бы общематематическое — если мы назвали что-то каким-то именем, то потом тем же именем нельзя назвать что-то другое. Если это что-то зависит от времени, то возьмём его как функцию времени, и т. п.. Если категория состоит из каких-то объектов, а они от чего-то зависят, то придётся вместо этого рассматривать категорнозначную функцию.

-- Ср окт 08, 2014 03:20:07 --

arseniiv в сообщении #916381 писал(а):
то потом тем же именем нельзя назвать что-то другое
Ну, то есть, можно, конечно — «в другой раз», в другом контексте. Вы, наверно, и так поняли. :-) Но для точности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение08.10.2014, 00:31 


05/09/12
2416
То есть, категория - это статичный полностью определенный объект? Такой мгновенный слепок состояния? И морфизмы не действуют на самом деле, а просто обозначают направленные стрелки-связи? А действуют как раз функторы, но и они не меняют категорию, а создают новую? Тогда непонятны эндофункторы, как морфизмы категории категорий... Извиняюсь за терминологию домохозяек, мне на интуитивном уровне мне надо как-то это уложить в представлениях. А то я уже начал строить фантазии о морфизмах-функциях, которые меняют состояние одного объекта категории... Чувствую, кроме префиксов к слову морфизм еще я путаюсь в статике/динамике изменении/статичности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение08.10.2014, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
22977
Уфа
_Ivana в сообщении #916386 писал(а):
То есть, категория - это статичный полностью определенный объект? Такой мгновенный слепок состояния?
Как и всё в математике. :-) Что не мешает ей успешно формализовать движение и вычисления.

_Ivana в сообщении #916386 писал(а):
И морфизмы не действуют на самом деле, а просто обозначают направленные стрелки-связи? А действуют как раз функторы, но и они не меняют категорию, а создают новую?
Можно сказать, создают (и что могут создавать уже кем-то созданное) — а можно сказать, будто всё уже есть и так само по себе, и это просто связи. Ну, это тоже классика, и в любом случае не математика, на ней не сказывается. Вот вы недавно познакомились с чистыми ФЯП. Изнутри такого языка нельзя определить, вернули ли две функции одну и ту же двойку, или одна «создала» одну, потом та двойка из памяти выкинулась за ненадобностью, и потом вторая «создала» другую двойку. Или даже эти две двойки могут существовать в памяти в разных местах, но узнать об этом никак не будет нельзя, потому что сравниваются они таким образом, который не учитывает эти детали. Математические конструкции в головах людей тоже представлены по-всякому, но в результате определённых соглашений считаются равными или не равными (или не сравнимыми из-за несогласованности определений; или там одна, а то и обе, вообще в любом понимании бред какой-то :-) ).

В общем, создание, уничтожение, сосуществование нескольких копий и т. д. — это не математические понятия (их, и многое другое, конечно, туда можно погрузить, чем успешно пользуются все, прикладывающие математику).

 Профиль  
                  
 
 Re: Азы теории категорий
Сообщение05.03.2015, 03:57 


05/09/12
2416
_Ivana в сообщении #916292 писал(а):
Например, если это моноид с эндоморфизмами, то что может быть объектом (или все угодно, хоть абстрактный стул) как осуществлять действие морфизмов на него?

Изображение
http://www.slideshare.net/kenbot/catego ... -beginners

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group