Азы теории категорий

[arseniiv]

Ой, да, я глупость написал. Конечно же, нестрого меньше.

(Продолжая предыдущее.) Или вместо $\mathbb Z$ какой-нибудь другой моноид по сложению, если упоминаемые «числа» из задачи брать другие. В случае комплексных чисел придётся просто постулировать, что морфизмом будет прибавление константы, тем более что это и правильнее. Естественное действие моноида самого на себя, или как там его.

[_Ivana]

Не могу прокомментировать ваши последние 2 сообщения, потому что не понимаю (и стыдно). Все, что содержит букву $Z$, слова "группа", "изо (ката/эпи/гомо....)", "моноид по сложению" и т.д. Потому как теории групп за плечами тоже нет. Как и теории множеств

-- 07.10.2014, 23:11 --

Хотя погодите. Я заглянул в шпаргалку и понял, что в последнем посте моноид по сложению имеется в виду не с позиций СТ а с позиций ST:

Цитата:

теоретико-множественное определению моноида:
Моноид – это тройка, состоящая из множества, ассоциативной бинарной операции на этом множестве и элемента, нейтрального относительно этой операции

тогда логично что вы предлагаете операцию сложения, ноль и какое-то числовое множество для задания этой тройки.

[arseniiv]

Да-да, имел в виду «алгебраический» моноид. Они вот так нехитро и связаны с моноидом-категорией — по морфизму на элемент.

Группа — тот же а. моноид, только там ещё обратные элементы есть всегда. Ну и тогда не читайте про изоморфизмы $(\mathbb Z,<)$, потому что это coincidence. В общем случае никакого порядка нет и не нужен он здесь.

[_Ivana]

Можно ли считать объектом требуемой категории некий числовой аккумулятор, действие морфизма на который будет заключаться в увеличении значения аккумулятора на морфизм-число? Все аксиомы морфизмов есть, единичный-прозрачный тоже, и действие на объект понятно. Ведь если несколько раз действуем например числом 5 на аккумулятор, то его значение меняется, но это все равно одна и та же область и кообласть морфизма как объект? И стартовое значение аккумулятора не имеет значения.

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916363 писал(а):

Можно ли считать объектом требуемой категории некий числовой аккумулятор, действие морфизма на который будет заключаться в увеличении значения аккумулятора на морфизм-число?

Низя. Никакого внутреннего состояния. Если состояние меняется, надо переформулировать так, чтобы не менялось — получится семейство объектов, соответствующих каждый своему состоянию исходного изменяемого.

Можно взять множество таких объектов, о которых вы говорите, со всеми возможными состояниями. Тогда если морфизмом сделать применение одинакового действия к каждому объекту множества, и чтобы ещё это действие было инъекцией, т. е. все результаты были бы разными, то в результате множество останется на месте. Мы приходим как раз к тому, что берём в качестве объекта $\mathbb Z$, а морфизмами — функции $\tau_a = n\mapsto n+a$. $\tau_a(\mathbb Z) \subset \mathbb Z$, так что мы получаем категорию.

-- Ср окт 08, 2014 02:50:54 --

Кажется, я пишу много лишнего.

-- Ср окт 08, 2014 02:52:05 --

Хотел сказать, получаем не просто категорию, а подкатегорию категории Set.

[_Ivana]

Интересный вариант, даже почти все понятно. Кроме мелочей что значит $\mathbb Z$ - множество целых чисел? Оно (по вашему определению) группа, и этого наверное достаточно. При условии что числа-морфизмы тоже целые. Но про те "числа" наверное отдельная тема, пока можем не усложнять.
А скажите, откуда постулат про "никакого внутреннего состояния"? Это то, что называется аксиомой типизации морфизма - что по нему однозначно и полностью определяются область и кооблать со всеми своими характеристиками?

-- 08.10.2014, 00:05 --

arseniiv в сообщении #916371 писал(а):

Кажется, я пишу много лишнего.

Ни в коем случае. Ничего лишнего.

arseniiv в сообщении #916371 писал(а):

Хотел сказать, получаем не просто категорию, а подкатегорию категории Set.

Насколько помню, ее морфизмы - это бинарные ассоциативные операции ("глаголы") на множествах. И это понятно. А морфизмы-числа ("существительные") - непонятно. Но вы хитро из них сделали глаголы через вашу тау-функцию, правда операции получились унарные - на одном множестве-объекте, но с результатом того же типа :) А операция на числах-морфизмах (сумма=композиция) получается композицией тау-функций-глаголов :) И в таком соусе это немного понятнее.

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):

что значит $\mathbb Z$ - множество целых чисел?

Да.

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):

Оно (по вашему определению) группа, и этого наверное достаточно.

Можно взять даже моноид натуральных чисел.

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):

При условии что числа-морфизмы тоже целые. Но про те "числа" наверное отдельная тема, пока можем не усложнять.

Просто берём тогда множество тех чисел, и делов. (Я это выше писал, но, наверно, не очень ясно изложил.)

_Ivana в сообщении #916373 писал(а):

А скажите, откуда постулат про "никакого внутреннего состояния"?

Ну это как бы общематематическое — если мы назвали что-то каким-то именем, то потом тем же именем нельзя назвать что-то другое. Если это что-то зависит от времени, то возьмём его как функцию времени, и т. п.. Если категория состоит из каких-то объектов, а они от чего-то зависят, то придётся вместо этого рассматривать категорнозначную функцию.

-- Ср окт 08, 2014 03:20:07 --

arseniiv в сообщении #916381 писал(а):

то потом тем же именем нельзя назвать что-то другое

Ну, то есть, можно, конечно — «в другой раз», в другом контексте. Вы, наверно, и так поняли. Но для точности.

[_Ivana]

То есть, категория - это статичный полностью определенный объект? Такой мгновенный слепок состояния? И морфизмы не действуют на самом деле, а просто обозначают направленные стрелки-связи? А действуют как раз функторы, но и они не меняют категорию, а создают новую? Тогда непонятны эндофункторы, как морфизмы категории категорий... Извиняюсь за терминологию домохозяек, мне на интуитивном уровне мне надо как-то это уложить в представлениях. А то я уже начал строить фантазии о морфизмах-функциях, которые меняют состояние одного объекта категории... Чувствую, кроме префиксов к слову морфизм еще я путаюсь в статике/динамике изменении/статичности.

[arseniiv]

_Ivana в сообщении #916386 писал(а):

То есть, категория - это статичный полностью определенный объект? Такой мгновенный слепок состояния?

Как и всё в математике. Что не мешает ей успешно формализовать движение и вычисления.

_Ivana в сообщении #916386 писал(а):

И морфизмы не действуют на самом деле, а просто обозначают направленные стрелки-связи? А действуют как раз функторы, но и они не меняют категорию, а создают новую?

Можно сказать, создают (и что могут создавать уже кем-то созданное) — а можно сказать, будто всё уже есть и так само по себе, и это просто связи. Ну, это тоже классика, и в любом случае не математика, на ней не сказывается. Вот вы недавно познакомились с чистыми ФЯП. Изнутри такого языка нельзя определить, вернули ли две функции одну и ту же двойку, или одна «создала» одну, потом та двойка из памяти выкинулась за ненадобностью, и потом вторая «создала» другую двойку. Или даже эти две двойки могут существовать в памяти в разных местах, но узнать об этом никак не будет нельзя, потому что сравниваются они таким образом, который не учитывает эти детали. Математические конструкции в головах людей тоже представлены по-всякому, но в результате определённых соглашений считаются равными или не равными (или не сравнимыми из-за несогласованности определений; или там одна, а то и обе, вообще в любом понимании бред какой-то ).

В общем, создание, уничтожение, сосуществование нескольких копий и т. д. — это не математические понятия (их, и многое другое, конечно, туда можно погрузить, чем успешно пользуются все, прикладывающие математику).

[_Ivana]

_Ivana в сообщении #916292 писал(а):

Например, если это моноид с эндоморфизмами, то что может быть объектом (или все угодно, хоть абстрактный стул) как осуществлять действие морфизмов на него?

http://www.slideshare.net/kenbot/catego ... -beginners