2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 13:46 
Аватара пользователя


15/08/09
1368
МГУ
Верно ли что найдутся $x$ и $y$ целые числа, то верно равенство

$$x^2+y^2=2(2014^2+2015^2)$$

Честно говоря не ясно к чему идти,
Ясно что левая часть должна быть четной, но это так мелочь наверное....

Думаю что нет таких чисел, но это интуиция...

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13197
с Территории
Мне тоже неясно, как Вам к этому идти, поэтому так и быть, держите сразу ответ. Чисел таких, скорее всего, полно. На закуску сгодятся $2015+2014$ и $2015-2014$.

-- менее минуты назад --

Upd. А нет, не полно. Хе-хе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 13:56 
Аватара пользователя


15/08/09
1368
МГУ
ИСН
да уж стыдно мне....до такой пары было не трудно догадаться....

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 21:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
7231
Удалено. (Борьба с философами дает о себе знать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 21:21 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
А чего тут думать?
$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2=x^2+y^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 22:17 
Заслуженный участник


23/07/08
7637
Харьков
$2(2014^2+2015^2)=1^2+4029^2$. И всё.

$2(2015^2+2016^2)=1^2+4031^2$. И всё.

Зато
$2(2016^2+2017^2)=1^2+4033^2=127^2+4031^2=$
$=491^2+4003^2=1709^2+3653^2=1897^2+3559^2=$
$=2009^2+3497^2=2317^2+3301^2=2419^2+3227^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1786
Москва
Есть формула для числа представлений суммой двух квадратов. Через сумму по делителям неглавного характера по модулю 4.

-- 04.03.2015, 22:39 --

$$
4\sum_{d\mid n\atop 2\nmid d}(-1)^{\frac{d-1}2}.
$$
Подсчитываются представления суммой квадратов целых чисел с учетом порядка слагаемых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 22:50 
Заслуженный участник


09/02/06
4339
Москва
Если надо найти все представления, то надо разложить сумму квадратов
$2014^2+2015^2=8116421$ на множители. Делителей вида $3\mod 4$ не будет, так как $(2014,2015)=1$.
Если это простое, то других решений нет. Малых делителей нет, максимум это произведение двух простых. Тогда из их представления найдем другое решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group