2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 13:46 
Аватара пользователя
Верно ли что найдутся $x$ и $y$ целые числа, то верно равенство

$$x^2+y^2=2(2014^2+2015^2)$$

Честно говоря не ясно к чему идти,
Ясно что левая часть должна быть четной, но это так мелочь наверное....

Думаю что нет таких чисел, но это интуиция...

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 13:51 
Аватара пользователя
Мне тоже неясно, как Вам к этому идти, поэтому так и быть, держите сразу ответ. Чисел таких, скорее всего, полно. На закуску сгодятся $2015+2014$ и $2015-2014$.

-- менее минуты назад --

Upd. А нет, не полно. Хе-хе.

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 13:56 
Аватара пользователя
ИСН
да уж стыдно мне....до такой пары было не трудно догадаться....

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 21:06 
Аватара пользователя
Удалено. (Борьба с философами дает о себе знать)

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 21:21 
А чего тут думать?
$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2=x^2+y^2$.

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 22:17 
Аватара пользователя
$2(2014^2+2015^2)=1^2+4029^2$. И всё.

$2(2015^2+2016^2)=1^2+4031^2$. И всё.

Зато
$2(2016^2+2017^2)=1^2+4033^2=127^2+4031^2=$
$=491^2+4003^2=1709^2+3653^2=1897^2+3559^2=$
$=2009^2+3497^2=2317^2+3301^2=2419^2+3227^2$

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 22:34 
Аватара пользователя
Есть формула для числа представлений суммой двух квадратов. Через сумму по делителям неглавного характера по модулю 4.

-- 04.03.2015, 22:39 --

$$
4\sum_{d\mid n\atop 2\nmid d}(-1)^{\frac{d-1}2}.
$$
Подсчитываются представления суммой квадратов целых чисел с учетом порядка слагаемых.

 
 
 
 Re: Доказать или опровергнуть равенство
Сообщение04.03.2015, 22:50 
Если надо найти все представления, то надо разложить сумму квадратов
$2014^2+2015^2=8116421$ на множители. Делителей вида $3\mod 4$ не будет, так как $(2014,2015)=1$.
Если это простое, то других решений нет. Малых делителей нет, максимум это произведение двух простых. Тогда из их представления найдем другое решение.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group