2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 13  След.
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение27.02.2015, 08:42 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
Someone в сообщении #983067 писал(а):
По-моему, там ясно сказано: координата $r$ фиксирована.

Было бы интересно построить вращающуюся систему отсчета во всем пространстве Минковского или по крайней мере в той ее части , где вращается жесткий диск. Насколько я понял
SergeyGubanov это пытается сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.03.2015, 10:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
schekn в сообщении #983264 писал(а):
Насколько я понял
SergeyGubanov это пытается сделать.
Совершенно ясно, что он пытается сделать что-то другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.03.2015, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
schekn в сообщении #983264 писал(а):
Было бы интересно построить вращающуюся систему отсчета во всем пространстве Минковского
Во всём пространстве Минковского жёсткую вращающуюся СО построить нельзя по очевидным причинам.

-- Пн мар 02, 2015 18:39:47 --

SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):
То есть в обычном смысле гиперповерхностей постоянного времени $T=\operatorname{const}$ не существует (не существует функции $T$).
Я не понимаю Вашей терминологии. Какое бы мы ни выбрали координатное время, "гиперповерхности постоянного времени" в этих координатах будут существовать. Причём координатное время вращающейся СО можно выбрать таким образом, что $g_{00}=1$. И для этих координат (как и для любых) определяется голономный базис. Разумеется, это не означает синхронности этих координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.03.2015, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
epros в сообщении #984703 писал(а):
Во всём пространстве Минковского жёсткую вращающуюся СО построить нельзя по очевидным причинам.

...денег не хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.03.2015, 20:34 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
epros в сообщении #984703 писал(а):
о всём пространстве Минковского жёсткую вращающуюся СО построить нельзя по очевидным причинам.

Разумеется. Про жесткую вращающуюся СО речь не идет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.03.2015, 20:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
schekn в сообщении #984789 писал(а):
Про жесткую вращающуюся СО речь не идет.
А про какую идёт? Нежёсткие вращающиеся СО вообще-то довольно экзотичны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение02.03.2015, 21:20 
Аватара пользователя


10/12/11
2427
Москва
epros в сообщении #984798 писал(а):
А про какую идёт? Нежёсткие вращающиеся СО вообще-то довольно экзотичны.

Ну вообще-то в литературе я видел такую попытку (скажем у Родичева), хотя не скажу , что мне все понятно.
А то, что написано в ЛЛ-2 пар 89, это все таки не совсем переход во вращающуюся СО. Скорее это вращающаяся система координат, то есть перенумерация точек пространства Минковского. А переход в другую СО это все таки немного другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
schekn в сообщении #984805 писал(а):
Ну вообще-то в литературе я видел такую попытку (скажем у Родичева), хотя не скажу , что мне все понятно.
Мне, например, понятно одно: Если тело отсчёта будет вращаться таким образом, чтобы скорость его периферийных частей относительно лабораторной СО не превышала скорость света, то проведённый радиус рано или поздно совьётся в такую спираль, что на радиус это будет совсем не похоже.

schekn в сообщении #984805 писал(а):
А то, что написано в ЛЛ-2 пар 89, это все таки не совсем переход во вращающуюся СО. Скорее это вращающаяся система координат, то есть перенумерация точек пространства Минковского. А переход в другую СО это все таки немного другое.
Полагаете, что разница так уж принципиальна? По моим понятиям, система отсчёта задаётся телом отсчёта и способом определения "одновременности" в разных его точках. Координатная сетка вполне способна определить и то, и другое. Для получения полного удовольствия можно, конечно, на эту физику навесить некую математику в виде тетрады. Однако не всякая тетрада может быть сопоставлена координатной сетке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 11:53 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #984703 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #982831 писал(а):
То есть в обычном смысле гиперповерхностей постоянного времени $T=\operatorname{const}$ не существует (не существует функции $T$).
Я не понимаю Вашей терминологии. Какое бы мы ни выбрали координатное время, "гиперповерхности постоянного времени" в этих координатах будут существовать. Причём координатное время вращающейся СО можно выбрать таким образом, что $g_{00}=1$. И для этих координат (как и для любых) определяется голономный базис. Разумеется, это не означает синхронности этих координат.
Да там всё проще пареной репы. Мировые линии тел задающих систему отсчёта определяются векторным полем $e^{\mu}_{\bf (0)} (x)$ согласно уравнению:
$$
\frac{dx^{\mu}}{ds} = e^{\mu}_{\bf (0)} (x)
$$
В данном случае (напоминаю, что здесь $v$ не констатнта, а произвольная функция $v(t, r, \theta, \varphi)$):
$$
e^{\bf (0)} = e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( c \, dt - \frac{v}{c} \, r \sin(\theta) \, d\varphi \right)
$$
$$
e_{\bf (0)} = e_{\bf (0)}^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}} = \frac{1 }{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \left( \frac{1}{c} \, \frac{\partial}{\partial t} + \frac{v}{c} \, \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\varphi} \right)
$$
Далее всё просто. Сказать, что дифференциальная форма $e^{\bf (0)}$ неголономна это всё равно что сказать, что векторное поле $e_{\bf (0)}$ вихревое.

А дальше ещё проще. Если векторное поле определяющее касательные к мировым линиям тел вихревое, то не существует такой функции $T$ градиент которой определял бы эти же самые касательные:
$$
e^{\bf (0)} \ne \frac{\partial T}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} \equiv d T.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 12:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
SergeyGubanov в сообщении #984991 писал(а):
Если векторное поле определяющее касательные к мировым линиям тел вихревое, то не существует такой функции $T$ градиент которой определял бы эти же самые касательные:
А какой Мировой Судия постановил, что касательные к мировым линиям (частей тела отсчёта) обязаны быть градиентами функции $T$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 13:21 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #985023 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #984991 писал(а):
Если векторное поле определяющее касательные к мировым линиям тел вихревое, то не существует такой функции $T$ градиент которой определял бы эти же самые касательные:
А какой Мировой Судия постановил, что касательные к мировым линиям (частей тела отсчёта) обязаны быть градиентами функции $T$?
Странный вопрос. Нет такой обязанности. Более того, у всех неинерциальных систем отсчёта векторное поле $e^{\mu}_{\bf (0)}$ вихревое.

Желание заполучить функцию $T(x)$ вызвано лишь тягой к красоте формулы гиперповерхностей постоянного времени: $$T(x) = \operatorname{const}.$$ В случае же произвольной системы отсчёта соответствующая сущность задаётся чуть менее красивой формулой: $$e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0,$$ и не является гиперповерхностью в обычном смысле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 14:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):
Желание заполучить функцию $T(x)$ вызвано лишь тягой к красоте формулы гиперповерхностей постоянного времени: $$T(x) = \operatorname{const}.$$
Это желание легко удовлетворить, выбрав любое координатное время.

SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):
В случае же произвольной системы отсчёта соответствующая сущность задаётся чуть менее красивой формулой: $$e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0,$$ и не является гиперповерхностью в обычном смысле.
Это уравнение не задаёт никакую сущность, а является всего лишь условием синхронности координатного времени. И для вращающегося тела отсчёта это условие нереализуемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 15:11 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #985060 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):
Желание заполучить функцию $T(x)$ вызвано лишь тягой к красоте формулы гиперповерхностей постоянного времени: $$T(x) = \operatorname{const}.$$
Это желание легко удовлетворить, выбрав любое координатное время.
Выбор в качестве координатного времени $x^0$ чего душе угодно никоим образом не влияет на существование или несуществование функции $T(x^0, x^1, x^2, x^3)$.

epros в сообщении #985060 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #985029 писал(а):
В случае же произвольной системы отсчёта соответствующая сущность задаётся чуть менее красивой формулой: $$e^{\bf (0)}_{\mu} dx^{\mu} = 0,$$ и не является гиперповерхностью в обычном смысле.
Это уравнение не задаёт никакую сущность, а является всего лишь условием синхронности координатного времени. И для вращающегося тела отсчёта это условие нереализуемо.
Посмотрите повнимательнее на формулу: все тензорные индексы там свёрнуты друг с другом, с точки зрения преобразования координат там записан скаляр. Это уравнение (точнее эта дифференциальная связь) от системы координат вообще не зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):
Выбор в качестве координатного времени $x^0$ чего душе угодно никоим образом не влияет на существование или несуществование функции $T(x^0, x^1, x^2, x^3)$.
Да будет Вам известно, что каждая из координат $x^i$ является функцией от точек многообразия.

SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):
Посмотрите повнимательнее на формулу: все тензорные индексы там свёрнуты друг с другом, с точки зрения преобразования координат там записан скаляр. Это уравнение (точнее эта дифференциальная связь) от системы координат вообще не зависит.
Я знаю как записывается скалярное произведение и знаю, что оно инвариантно. Вы записали условие, согласно которому вектор с координатами $dx^{\mu}$ ортогонален к нулевому вектору некоего базиса. И что дальше? Очевидно, Вы хотите, чтобы этот вектор лежал на некой гиперповерхности, т.е. чтобы гиперповерхность была ортогональна к полю $e^{(0)}$. Ортогональность гиперповерхности $x^0 = const$ к направлению оси времени -- это и есть синхроность координатного времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диск Эйнштейна
Сообщение03.03.2015, 16:59 
Аватара пользователя


14/11/12
1367
Россия, Нижний Новгород
epros в сообщении #985102 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):
Выбор в качестве координатного времени $x^0$ чего душе угодно никоим образом не влияет на существование или несуществование функции $T(x^0, x^1, x^2, x^3)$.
Да будет Вам известно, что каждая из координат $x^i$ является функцией от точек многообразия.
$x^0$ и $T$ друг к другу никакого отношения не имеют.

epros в сообщении #985102 писал(а):
SergeyGubanov в сообщении #985075 писал(а):
Посмотрите повнимательнее на формулу: все тензорные индексы там свёрнуты друг с другом, с точки зрения преобразования координат там записан скаляр. Это уравнение (точнее эта дифференциальная связь) от системы координат вообще не зависит.
Я знаю как записывается скалярное произведение и знаю, что оно инвариантно. Вы записали условие, согласно которому вектор с координатами $dx^{\mu}$ ортогонален к нулевому вектору некоего базиса. И что дальше? Очевидно, Вы хотите, чтобы этот вектор лежал на некой гиперповерхности, т.е. чтобы гиперповерхность была ортогональна к полю $e^{(0)}$. Ортогональность гиперповерхности $x^0 = \operatorname{const}$ к направлению оси времени -- это и есть синхроность координатного времени.
Уравнение $e^{(0)} = 0$ общековариантно, координата $x^0$ тут вообще не при чём.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 185 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 13  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group