Сферический маятник в кватернионах

[Oleg Zubelevich]

основным техническим приемом при интегрировании дифференциальных уравений, является выбор адекватных координат, в которых векторное уравнение разваливается в систему простых уравнений, например с отделяющимеся переменными. Проинтегрировать уравнение в векторной форме, не расписывая его в координатах, можно только в простейших случаях.

[arseniiv]

Ingus в сообщении #982774 писал(а):

Болотин и Карапетян говорят, что любое вращение задается кватернионом. Это может быть вращение радиус-вектора вершины маятника, или к примеру вращение вектора скорости вершины маятника. Угловая скорость опять же записывается в кватернионах. Вот я и подумал, может можно состряпать конструкцию для сферического маятника в кватернионах?

Во-первых, одному вращению (элементу $\mathrm{SO}(3,\mathbb R)$) соответствует даже не один кватернион. Во-вторых, как сказал Munin, не любых. И не надо гадать каких: если вы не знаете, как именно они соотносятся с вращениями, вы ничего с ними не сможете сделать! Ну а когда знаете, всё почти очевидно.

В англовики есть неплохая статья Quaternions and spatial rotation (русская — не эквивалент! она гораздо меньше) — там написано, и как, и почему, и как даже такое представления вращения соотносится с другими (матрицы, угол×орт) вычислительно.

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #983409 писал(а):

Проинтегрировать уравнение в векторной форме, не расписывая его в координатах, можно только в простейших случаях.

Сферический маятник к простейшим похоже не относится... Кстати, в учебнике Болотина траектория сферического маятника при малых колебаниях называется "эллипсы на плоскости" почему-то. А ведь это прецессирующая кривая - незамкнутый или поворачивающийся эллипс. Или скажем так, эллипс, большая ось которого непрерывно меняет положение в пространстве. Жаль, но пока я нигде не нашел достойного описания этого явления.

-- 28.02.2015, 11:23 --

arseniiv в сообщении #983525 писал(а):

Во-вторых, как сказал Munin, не любых

Munin сказал: "Это не значит, что любой кватернион обозначает вращение"
Болотин написал: Любое вращение можно задать кватернионом.
Я не спорил ни с тем ни с другим, заметьте, ведь оба утверждения true.
За ссылочку спасибо! Жаль, русскоязычные версии неполные... Вот и сферический маятник наиболее полно у французов описан, а не у нас.

[Oleg Zubelevich]

Ingus в сообщении #983613 писал(а):

А ведь это прецессирующая кривая - незамкнутый или поворачивающийся эллипс. Или скажем так, эллипс, большая ось которого непрерывно меняет положение в пространстве. Жаль, но пока я нигде не нашел достойного описания этого явления.

да, вот, понимаешь ,не разобрались значит в вопросе и не написали , чтоб получилось достойно Вашего внимания. Нет, чтоб у Вас спросить как надо.

Ingus в сообщении #983613 писал(а):

Жаль, русскоязычные версии неполные... Вот и сферический маятник наиболее полно у французов описан, а не у нас.

ну после Вашей положительной рецензии, этим французам наверняка Филдса дадут и Нобелевку впридачу

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #983694 писал(а):

Нет, чтоб у Вас спросить как надо.

Ну вот повеселил Вас. Уже приятно. А знаете как тяжело переносится мания величия?(

-- 28.02.2015, 20:23 --

Oleg Zubelevich в сообщении #983694 писал(а):

и не написали , чтоб получилось достойно Вашего внимания

Не только от Моего внимания ускользнула эта история, но и от уважаемых Зельдовича и Суало http://www.mathnet.ru/links/479a475746f9aab82207e8243276d547/ufn127.pdf:
"Задача о движении по сфере (т.е. о сферическом маятнике ) имеет хорошо известное аналитическое решение, которое находится с использованием законов сохра­нения энергии и z-компоненты углового момента . Сле­дует заметить , однако, что задача не сводится к какой бы то ни был о эквивалентной задаче о движении частицы в слабонегармоническом потенциале. Причина несводи­мости состоит в том, что для сферического маятника нелинейность возникает не только из-за члена потенци­альной энергии в лагранжиане (или гамильтониане); член кинетической энергии также содержит неустранимую нелинейность. В этом, по-видимому, и состоит причина того любопытного факта, что весьма простые выражения (31)-(33 ) отсутствуют в учебниках по классической механике; по крайней мере, нам нигде не удалось их найти."
Их внимание достойнее моего, но тоже не удостоилось...так сказать.

[Oleg Zubelevich]

Да, это еще смешнее. Задача о сферическом маятнике детально исследована у Аппеля Теор мех том 1 (он там и во втором томе к нему возвращается несколько раз)

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ingus в сообщении #983613 писал(а):

Я не спорил ни с тем ни с другим, заметьте, ведь оба утверждения true.

Ну, это я просто в одном месте всё свести хотел, потому повторил.

[Munin]

Ingus в сообщении #983766 писал(а):

А знаете как тяжело переносится мания величия?(

Это ещё что, вы бы знали, как тяжело она вращается вокруг неподвижной точки...

[Ingus]

Munin в сообщении #983893 писал(а):

Это ещё что, вы бы знали, как тяжело она вращается вокруг неподвижной точки...

Это точно. Но сдвиг есть) Самопрецессия так сказать. Вот решил кватернионы подтянуть. Вдруг новые горизонты откроются... Хотя вряд ли..

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #983790 писал(а):

он там и во втором томе к нему возвращается несколько раз

Есть такое дело.


А еще оказывается в случае сферического маятника нельзя добиться исчезновения векового члена $nt$. Выходит, простой на первый взгляд объект, ооочень непрост в описании. Чего стоит хотя бы период его колебания..

-- 01.03.2015, 13:33 --

Так каково будет резюме? Кватернионы хороши только для расчета 3D графики при визуализации, в том числе и сферического маятника? Как математические объекты для написания уравнений движения они не годятся?

[Oleg Zubelevich]

Ingus в сообщении #984044 писал(а):

Выходит, простой на первый взгляд объект, ооочень непрост в описании

Наоборот, он очень прост в описании, это совершенно стандартная задача для семинара на втором курсе. Качественная картина движения совершенно прозрачна и совершенно типична для систем с циклическими инттегралами.

Ingus в сообщении #984044 писал(а):

Чего стоит хотя бы период его колебания..

у него нет периода, колебаний. Относительно неподвижного наблюдателя, почти все решения являются не периодическими , а квазипериодическими, соответствующие траектории заметают всюду плотно сферический слой. Но имеются и периодические решения, которых множество меры нуль.
Можно представлять себе вертикальную плоскость, которая поворачивается так, что маятник все время находится в ней. Относительно этой плоскости маятник совершает периодическое движение. Период зависит от начальных условий, естесна

-- Вс мар 01, 2015 13:32:18 --

Ingus в сообщении #984044 писал(а):

Кватернионы хороши только для р

кватернионы хороши там где они хороши, например, в некоторых задачах о движении твердого тела

[Munin]

Кватернионы в основном получили применение в алгебре, а не в физике. В физике они иногда возникают на периферии, на них смотрят как на красивую игрушку, и идут дальше.

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #984089 писал(а):

Но имеются и периодические решения, которых множество меры нуль.

Принял на свой счет). Множество может иметь мощность континуума и меру ноль...

[Oleg Zubelevich]

мощность множества тут ни при чем. важно то, что вероятность наткнуться на периодическое решение равна нулю.

[Ingus]

Oleg Zubelevich в сообщении #984089 писал(а):

у него нет периода, колебаний

Аппель, тем не менее, указывает период колебания по оси $z$.
Я нашел, что решение для координаты $z$ имеет вид:
$z=z_{max}-(z_{max}-z_{min})sin^2(\frac{2\pi}{T}t)$
$T$- период изменения координаты $z$ от минимума до максимума, в некотором смысле, период колебания сферического маятника.