Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.

[Don-Don]

1) Исследовать на периодичность функции

a) $f(x)=\dfrac{4x+4}{(x+2)^2}$

b) $g(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$

Ясно, что в обоих случаях периодичность отсутствует. Но как это доказать?

Можно конечно выписать $f(x)=f(x+T)$ и в лоб пытаться искать $T$, ясно, что у нас $T$ будет как-то хитро зависеть от $x$, чего быть не должно, значит периодичности нет.

Но есть ли другой способ?

2) Что такое острый экстремум, что такое угловой экстремум? В интернете что-то не получилось найти чего-то толкового на эту тему. Где можно почитать, желательно с примерами?

[Legioner93]

Острый минимум - это найдётся такая $C$, что $f(x)-f(x_0) \ge C ||x-x_0||$. Например минимум параболы - не острый.
Со понятием "угловой" не сталкивался. Наверное что-то из ЛП.

-- Пт фев 27, 2015 20:24:06 --

Про периодичность я бы ответил так:
На бесконечности функция бесконечно малая (бесконечно большая во втором случае). Понятно, почему она не может быть периодичной?

[Otta]

Don-Don в сообщении #983480 писал(а):

1) Исследовать на периодичность функции
b) $g(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$

Да всяко-разно можно заходить. Нули, например, найдите. И подумайте над найденным.

[Don-Don]

Otta в сообщении #983489 писал(а):

Don-Don в сообщении #983480 писал(а):

1) Исследовать на периодичность функции
b) $g(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$

Да всяко-разно можно заходить. Нули, например, найдите. И подумайте над найденным.

Ах, точно, спасибо. Периодическая функция, если имеет хотя бы один нуль, то в силу периодичности их бесконечное кол-во

[Don-Don]

a) $f(x)=\dfrac{4x+4}{(x+2)^2}$

А тут, если у функции есть хотя бы одна точка разрыва (в данном случае $x=-2$, то точек разрыва должно быть бесконечно много в силу периодичности), но тут только одна, потому противоречие, значит периодичности нет . Верно?

-- 01.03.2015, 01:55 --

Legioner93 в сообщении #983487 писал(а):

Острый минимум - это найдётся такая $C$, что $f(x)-f(x_0) \ge C ||x-x_0||$. Например минимум параболы - не острый.
Со понятием "угловой" не сталкивался. Наверное что-то из ЛП.

-- Пт фев 27, 2015 20:24:06 --

Про периодичность я бы ответил так:
На бесконечности функция бесконечно малая (бесконечно большая во втором случае). Понятно, почему она не может быть периодичной?

А что значит двойной модуль? Есть ли какой-то пример такой функции с острым экстремумом?

Так-то понятно, что если на бесконечно малая на бесконечности, значит в силу периодичности должна быть бесконечно малая везде, в силу периодичности, но она бесконечно малая не везде, верно?

[Otta]

Don-Don в сообщении #983871 писал(а):

но тут только одна, потому противоречие, значит периодичности нет . Верно?

Верно.

Don-Don в сообщении #983871 писал(а):

значит в силу периодичности должна быть бесконечно малая везде,

Не говорят так. Бесконечно малая может быть при какой-то базе. "Двойной модуль" - это норма. В Вашем случае просто модуль разности будет. Но не отвлекайтесь, на самом деле все проще.

[ewert]

Otta в сообщении #983874 писал(а):

на самом деле все проще.

По ссылке неправильная формулировка. В том смысле, что запись $f'(x)=\infty$ достаточно бессмысленна, нужно указывать знак.

[Don-Don]

ewert в сообщении #983937 писал(а):

Otta в сообщении #983874 писал(а):

на самом деле все проще.

По ссылке неправильная формулировка. В том смысле, что запись $f'(x)=\infty$ достаточно бессмысленна, нужно указывать знак.

То есть острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=+\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$ или $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=-\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$?
или же такая формулировка должна быть:
Острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0\pm 0}f'(x)=-\infty$ и $\lim\limits_{x\to x_0\mp 0}f'(x)=+\infty$

-- 01.03.2015, 13:55 --

Otta в сообщении #983874 писал(а):

Don-Don в сообщении #983871 писал(а):

но тут только одна, потому противоречие, значит периодичности нет . Верно?

Верно.

Don-Don в сообщении #983871 писал(а):

значит в силу периодичности должна быть бесконечно малая везде,

Не говорят так. Бесконечно малая может быть при какой-то базе. "Двойной модуль" - это норма. В Вашем случае просто модуль разности будет. Но не отвлекайтесь, на самом деле все проще.

Спасибо!!!!

-- 01.03.2015, 13:57 --

А как здесь дается определение экстремума? https://dl.spbstu.ru/pluginfile.php/522 ... -5-3-3.pdf
Я раньше думал, что существуют только гладкие экстремумы, потому в недоумении...

[Otta]

ewert
Там совершенно нормальная формулировка, прочитайте, пожалуйста, внимательнее. Точки с "бесконечной производной" они относят к подозрительным на экстремум, критическим, а не к точкам экстремума. Точки острого экстремума - это точки экстремума с бесконечной производной. Да, конечно, знак производной по разные стороны от точки должен быть разным для этого. Это в точности то, что Вы написали.

-- 01.03.2015, 15:04 --

Don-Don в сообщении #984067 писал(а):

А как здесь дается определение экстремума?

Да стандартно дается. В точности, как в Вашем курсе. Как у Вас давалось?

Геометрический смысл терминов острый и угловой экстремум понятен: в точке острого экстремума касательная к графику функции вертикальна, в точке углового касательной не существует, зато существуют - разные с обеих сторон - левая и правая полукасательные.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #984076 писал(а):

Точки с "бесконечной производной" они относят к подозрительным на экстремум, критическим, а не к точкам экстремума.

Да всё там плохо. Прежде всего, понятие "бесконечной производной" если и принято вводить, то вполне однозначно -- как двусторонней. Попытка классификации экстремумов на тупоконечников, остроконечников и клювоконечников чуть более чем бессмысленна: куда они отнесут, скажем, какой-нибудь $(|x|+x)\sqrt[3]x+(|x|-x)x^2$?... Добавляет пикантности тот факт, что все разговоры насчёт типов экстремумов при обсуждении необходимых условий вообще неуместны.

В общем, всё плохо. Кто все эти люди?...

[Otta]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #984307 писал(а):

Кто все эти люди?...

Не знаю. Меня среди них нет. И я никогда так экстремумы не классифицировала, не доводилось.

ewert в сообщении #984307 писал(а):

Добавляет пикантности тот факт, что все разговоры насчёт типов экстремумов при обсуждении необходимых условий вообще неуместны.

Тут они неправы. Конечно, следовало бы сперва про достаточные что-то сказать. А вот далее можно бы и по тексту. М? Ну раз надо человеку про вот это все.

ewert в сообщении #984307 писал(а):

куда они отнесут, скажем, какой-нибудь $(|x|+x)\sqrt[3]x+(|x|-x)x^2$?...

Таки к гладкому экстремуму, я полагаю.

ewert в сообщении #984307 писал(а):

Прежде всего, понятие "бесконечной производной" если и принято вводить, то вполне однозначно -- как двусторонней.

Хорошо. Это с чем-то здесь вступает в противоречие? В контексте необходимых условий?

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #984326 писал(а):

Это с чем-то здесь вступает в противоречие?

Да как Вам сказать. То, что они позволяют себе употреблять сочетание "бесконечная производная", явно не понимая смысла, который они в эти слова вкладывают -- это противоречие или как?...

[Legioner93]

Термин "острый минимум" в том виде, в котором дал я, вполне себе корректный и используется в реальных задачах выпуклого анализа и теории оптимизаций.
"Двойной модуль" конечно же означает норму. Т.к. пространства рассматриваются $N$-мерные (это в лучшем случае)

[Don-Don]

Какая из формулировок верна или обе неверны?

Цитата:

То есть острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=+\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$ или $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=-\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$?
или же такая формулировка должна быть:
Острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0\pm 0}f'(x)=-\infty$ и $\lim\limits_{x\to x_0\mp 0}f'(x)=+\infty$

[мат-ламер]

Legioner93 в сообщении #984469 писал(а):

Термин "острый минимум" в том виде, в котором дал я, вполне себе корректный и используется в реальных задачах выпуклого анализа и теории оптимизаций

Термин действительно используется в научных статьях. Встречается в задачах выпуклой недифференцируемой оптимизации. Например, сюда относятся задачи линейной чебышевской аппроксимации или регрессии по методу наименьших модулей. Это к вопросу, кто все эти люди.