2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение27.02.2015, 20:09 


04/03/14
176
1) Исследовать на периодичность функции

a) $f(x)=\dfrac{4x+4}{(x+2)^2}$

b) $g(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$

Ясно, что в обоих случаях периодичность отсутствует. Но как это доказать?

Можно конечно выписать $f(x)=f(x+T)$ и в лоб пытаться искать $T$, ясно, что у нас $T$ будет как-то хитро зависеть от $x$, чего быть не должно, значит периодичности нет.

Но есть ли другой способ?

2) Что такое острый экстремум, что такое угловой экстремум? В интернете что-то не получилось найти чего-то толкового на эту тему. Где можно почитать, желательно с примерами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение27.02.2015, 20:20 
Аватара пользователя


28/07/09
1043
Острый минимум - это найдётся такая $C$, что $f(x)-f(x_0) \ge C ||x-x_0||$. Например минимум параболы - не острый.
Со понятием "угловой" не сталкивался. Наверное что-то из ЛП.

-- Пт фев 27, 2015 20:24:06 --

Про периодичность я бы ответил так:
На бесконечности функция бесконечно малая (бесконечно большая во втором случае). Понятно, почему она не может быть периодичной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение27.02.2015, 20:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6459
Don-Don в сообщении #983480 писал(а):
1) Исследовать на периодичность функции
b) $g(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$

Да всяко-разно можно заходить. Нули, например, найдите. И подумайте над найденным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение27.02.2015, 20:43 


04/03/14
176
Otta в сообщении #983489 писал(а):
Don-Don в сообщении #983480 писал(а):
1) Исследовать на периодичность функции
b) $g(x)=\sqrt[3]{(x-1)(x+2)^2}$

Да всяко-разно можно заходить. Нули, например, найдите. И подумайте над найденным.

Ах, точно, спасибо. Периодическая функция, если имеет хотя бы один нуль, то в силу периодичности их бесконечное кол-во

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 00:52 


04/03/14
176
a) $f(x)=\dfrac{4x+4}{(x+2)^2}$

А тут, если у функции есть хотя бы одна точка разрыва (в данном случае $x=-2$, то точек разрыва должно быть бесконечно много в силу периодичности), но тут только одна, потому противоречие, значит периодичности нет . Верно?

-- 01.03.2015, 01:55 --

Legioner93 в сообщении #983487 писал(а):
Острый минимум - это найдётся такая $C$, что $f(x)-f(x_0) \ge C ||x-x_0||$. Например минимум параболы - не острый.
Со понятием "угловой" не сталкивался. Наверное что-то из ЛП.

-- Пт фев 27, 2015 20:24:06 --

Про периодичность я бы ответил так:
На бесконечности функция бесконечно малая (бесконечно большая во втором случае). Понятно, почему она не может быть периодичной?


А что значит двойной модуль? Есть ли какой-то пример такой функции с острым экстремумом?

Так-то понятно, что если на бесконечно малая на бесконечности, значит в силу периодичности должна быть бесконечно малая везде, в силу периодичности, но она бесконечно малая не везде, верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6459
Don-Don в сообщении #983871 писал(а):
но тут только одна, потому противоречие, значит периодичности нет . Верно?

Верно.
Don-Don в сообщении #983871 писал(а):
значит в силу периодичности должна быть бесконечно малая везде,

Не говорят так. Бесконечно малая может быть при какой-то базе. "Двойной модуль" - это норма. В Вашем случае просто модуль разности будет. Но не отвлекайтесь, на самом деле все проще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 07:47 
Заслуженный участник


11/05/08
31333
Otta в сообщении #983874 писал(а):
на самом деле все проще.

По ссылке неправильная формулировка. В том смысле, что запись $f'(x)=\infty$ достаточно бессмысленна, нужно указывать знак.

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 12:54 


04/03/14
176
ewert в сообщении #983937 писал(а):
Otta в сообщении #983874 писал(а):
на самом деле все проще.

По ссылке неправильная формулировка. В том смысле, что запись $f'(x)=\infty$ достаточно бессмысленна, нужно указывать знак.

То есть острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=+\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$ или $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=-\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$?
или же такая формулировка должна быть:
Острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0\pm 0}f'(x)=-\infty$ и $\lim\limits_{x\to x_0\mp 0}f'(x)=+\infty$

-- 01.03.2015, 13:55 --

Otta в сообщении #983874 писал(а):
Don-Don в сообщении #983871 писал(а):
но тут только одна, потому противоречие, значит периодичности нет . Верно?

Верно.
Don-Don в сообщении #983871 писал(а):
значит в силу периодичности должна быть бесконечно малая везде,

Не говорят так. Бесконечно малая может быть при какой-то базе. "Двойной модуль" - это норма. В Вашем случае просто модуль разности будет. Но не отвлекайтесь, на самом деле все проще.


Спасибо!!!!

-- 01.03.2015, 13:57 --

А как здесь дается определение экстремума? https://dl.spbstu.ru/pluginfile.php/522 ... -5-3-3.pdf
Я раньше думал, что существуют только гладкие экстремумы, потому в недоумении...

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 13:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6459
ewert
Там совершенно нормальная формулировка, прочитайте, пожалуйста, внимательнее. Точки с "бесконечной производной" они относят к подозрительным на экстремум, критическим, а не к точкам экстремума. Точки острого экстремума - это точки экстремума с бесконечной производной. Да, конечно, знак производной по разные стороны от точки должен быть разным для этого. Это в точности то, что Вы написали.

-- 01.03.2015, 15:04 --

Don-Don в сообщении #984067 писал(а):
А как здесь дается определение экстремума?

Да стандартно дается. В точности, как в Вашем курсе. Как у Вас давалось?

Геометрический смысл терминов острый и угловой экстремум понятен: в точке острого экстремума касательная к графику функции вертикальна, в точке углового касательной не существует, зато существуют - разные с обеих сторон - левая и правая полукасательные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 18:26 
Заслуженный участник


11/05/08
31333

(Оффтоп)

Otta в сообщении #984076 писал(а):
Точки с "бесконечной производной" они относят к подозрительным на экстремум, критическим, а не к точкам экстремума.

Да всё там плохо. Прежде всего, понятие "бесконечной производной" если и принято вводить, то вполне однозначно -- как двусторонней. Попытка классификации экстремумов на тупоконечников, остроконечников и клювоконечников чуть более чем бессмысленна: куда они отнесут, скажем, какой-нибудь $(|x|+x)\sqrt[3]x+(|x|-x)x^2$?... Добавляет пикантности тот факт, что все разговоры насчёт типов экстремумов при обсуждении необходимых условий вообще неуместны.

В общем, всё плохо. Кто все эти люди?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/05/13
6459

(Оффтоп)

ewert в сообщении #984307 писал(а):
Кто все эти люди?...

Не знаю. Меня среди них нет. И я никогда так экстремумы не классифицировала, не доводилось.
ewert в сообщении #984307 писал(а):
Добавляет пикантности тот факт, что все разговоры насчёт типов экстремумов при обсуждении необходимых условий вообще неуместны.

Тут они неправы. Конечно, следовало бы сперва про достаточные что-то сказать. А вот далее можно бы и по тексту. М? Ну раз надо человеку про вот это все.
ewert в сообщении #984307 писал(а):
куда они отнесут, скажем, какой-нибудь $(|x|+x)\sqrt[3]x+(|x|-x)x^2$?...

Таки к гладкому экстремуму, я полагаю. :D
ewert в сообщении #984307 писал(а):
Прежде всего, понятие "бесконечной производной" если и принято вводить, то вполне однозначно -- как двусторонней.

Хорошо. Это с чем-то здесь вступает в противоречие? В контексте необходимых условий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 22:27 
Заслуженный участник


11/05/08
31333

(Оффтоп)

Otta в сообщении #984326 писал(а):
Это с чем-то здесь вступает в противоречие?

Да как Вам сказать. То, что они позволяют себе употреблять сочетание "бесконечная производная", явно не понимая смысла, который они в эти слова вкладывают -- это противоречие или как?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение01.03.2015, 22:46 
Аватара пользователя


28/07/09
1043
Термин "острый минимум" в том виде, в котором дал я, вполне себе корректный и используется в реальных задачах выпуклого анализа и теории оптимизаций.
"Двойной модуль" конечно же означает норму. Т.к. пространства рассматриваются $N$-мерные (это в лучшем случае)

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение02.03.2015, 16:08 


04/03/14
176
Какая из формулировок верна или обе неверны?

Цитата:
То есть острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=+\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$ или $\lim\limits_{x\to x_0+0}f'(x)=-\infty=\lim\limits_{x\to x_0-0}f'(x)$?
или же такая формулировка должна быть:
Острый экстремум будет, если $\lim\limits_{x\to x_0\pm 0}f'(x)=-\infty$ и $\lim\limits_{x\to x_0\mp 0}f'(x)=+\infty$

 Профиль  
                  
 
 Re: Острый экстремум, а угловой экстремум? + О периодичности.
Сообщение02.03.2015, 20:16 
Заслуженный участник


30/01/09
4694
Legioner93 в сообщении #984469 писал(а):
Термин "острый минимум" в том виде, в котором дал я, вполне себе корректный и используется в реальных задачах выпуклого анализа и теории оптимизаций

Термин действительно используется в научных статьях. Встречается в задачах выпуклой недифференцируемой оптимизации. Например, сюда относятся задачи линейной чебышевской аппроксимации или регрессии по методу наименьших модулей. Это к вопросу, кто все эти люди.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group