Свойство операции

[ИСН]

Так найдётся или нет? И сколько?

[arseniiv]

Одна. Если признак $i$ у них разный — то на карточке третье значение этого признака должно быть. Иначе то же, что на этих двух. (Вот теперь вспомнил, ура!)

Почему операция тогда не обязательно коммутативна?

[ИСН]

Не хотел привязываться к лишним свойствам. Здесь-то коммутативна, конечно. А ещё идемпотентна. (Вот видите, кстати, сколько есть красивых слов; как-то же их придумали, а тут почему нет?) Если мы эти свойства отвяжем, что останется? То, с чего я начал тему.

-- менее минуты назад --

Название "трицикличная" мне не нравится: слишком расплывчато, и тождество Якоби на него имеет не меньше прав. Про график вообще не то; какие ещё графики в абстрактной алгебре?

[arseniiv]

В какой-то теме придумали слово коджибулярная. Правда, сейчас видно, что зря: это, вроде, была обычная коммутативность, но ясность появилась уже после того как тема отыграла.

ИСН в сообщении #982545 писал(а):

Не хотел привязываться к лишним свойствам.

Тогда ясно. Выделили подгруппу $S_3$, и кроме изоморфных $\mathbb Z_2$ (одна для коммутативности, другие для чего-то там инволюциесвязанного) там нетривиальная только $\mathbb Z_3$, соответствующая вашему свойству.

ИСН в сообщении #982545 писал(а):

А ещё идемпотентна.

Ну это уже точно не про реальный Set.

-- Чт фев 26, 2015 01:42:09 --

arseniiv в сообщении #982616 писал(а):

Правда, сейчас видно, что зря: это, вроде, была обычная коммутативность

А, не, там у функции не обязательно два аргумента было, так что учитывались все перестановки.

[ИСН]

arseniiv в сообщении #982616 писал(а):

ИСН в сообщении #982545 писал(а):

А ещё идемпотентна.

Ну это уже точно не про реальный Set.

Почему, вполне про него, только надо взять несколько колод. Правила те же: либо всё одинаковое, либо всё разное. Какая карта будет дополнять две одинаковых? Да уж понятно, какая.
Пассаж про $S_3$ не понял. У меня вообще не группа, для начала. Группой сделать её можно, добавив нужные свойства, но довольно скучно, во-первых, а во-вторых, группа получится не эта.

[arseniiv]

ИСН в сообщении #982653 писал(а):

Пассаж про $S_3$ не понял.

Ну, рассматриваем операции со свойством $a*b=c\to\forall\sigma\in G.\;\sigma a*\sigma b=\sigma c$, где $H\subset S_{\{a,b,c\}}$. (Для Set — равны, конечно.) Я сначала хотел спросить, почему, отвлекаясь от коммутативности, выбираем именно свойство $a*b=c\to b*c=a$ — ну и потом понял, что ведь больше ничего интересного и не выбрать! Две остальные нетривиальные подгруппы соответствуют операциям, для которых $a*b=c\to c*b=a$ и $a*b=c\to a*c=b$, и такие операции нам дают семейство идемпотентных операций $x\mapsto x*a$ для первого свойства и аналогично для второго, и больше ничего интересного заметить не успел.

-- Чт фев 26, 2015 06:11:28 --

ИСН в сообщении #982653 писал(а):

Почему, вполне про него, только надо взять несколько колод. Правила те же: либо всё одинаковое, либо всё разное. Какая карта будет дополнять две одинаковых? Да уж понятно, какая.

Ну, это читерство, хотя не против.

[ИСН]

arseniiv в сообщении #982709 писал(а):

Я сначала хотел спросить, почему, отвлекаясь от коммутативности, выбираем именно свойство $a*b=c\to b*c=a$ — ну и потом понял, что ведь больше ничего интересного и не выбрать!

А, теперь понял. Ну да. Если разрешены какие-то перестановки букв в $a\cdot b=c$, то это означает либо моё свойство, либо коммутативность, либо ничего интересного.

[bot]

Иначе говоря - это группоид с тождеством $x\cdot yx=y$ - равносильно $xy\cdot x=y.$ Это квазигруппа, в которой деления совпадает с умножением в определённом порядке: деление на $x$ слева означает умножение на $x$ справа и наоборот. В коммутативном случае такой объект называется TS-квазигруппой (тотально симметрической).
Насколько мне известно, общепринятого названия у некоммутативного сабжа нет - даже у Белоусова). Наверно надо назвать что-нибудь вроде SS-квазигруппой, то есть полусимметрической или QS - квазисимметрической.
Примером может служить любая группа относительно производной операции $x\odot y=(yx)^{-1}.$

-- Пт фев 27, 2015 17:58:05 --

Группу всех подстановок обозначают буквой $S$, а чётных - $A$.
Следуя этому TS-квазигруппу надо бы назвать S-квазигруппой, а сабж - A-квазигруппой.

[Три А,да]

А векторное произведение трёх взаимно перпендикулярных ортов в трёхмерном пространстве не подойдёт? Правда порядок должен быть важен.

[svv]

Тогда придётся любые $a$, $b$ и $c=a.b$ мыслить как попарно перпендикулярные. Но ведь $a$ и $b$ ничем друг другу не обязаны.

[ИСН]

Орты? Хе! Интересная реализация, я о такой ещё не думал. $i\times j=k,\;j\times k=i$ - работает. Теперь с противоположными: $j\times i=-k,\;i\times (-k)=j$. Да, вроде всё на месте. Жаль, что эта штука немасштабируема.
Она же, кстати, реализуется из кватернионных мнимых единиц. Если добавить нормальную, человеческую единицу - станет группой, зато потеряет subj. Вот ведь!

-- менее минуты назад --

А нет, нифига не всё на месте. Как только мы множим элемент сам на себя, то нас выкидывают из автобуса.

[arseniiv]

Ну и берём тогда $u*v = (u\cdot v)u + u\times v$. Немасштабируемость, правда, это не излечивает.

[Lukum]

Ориентированный граф-цикл длины 3.

[ИСН]

Lukum в сообщении #983605 писал(а):

Ориентированный граф-цикл длины 3.

Дополненный идемпотентностью? Ну ОК. А нет, не ОК: чему в Вашем цикле равно $b\cdot a$? Если тому же самому, что $a\cdot b$, то каким боком он "ориентированный", а если чему-то ещё, то откуда у нас это что-то ещё?

[svv]

bot в сообщении #983374 писал(а):

Примером может служить любая группа относительно производной операции $x\odot y=(yx)^{-1}.$