Вероятностная оценка распределения простых чисел

[--mS--]

Верно, спасибо. Теперь $\omega_2=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,20,19)$. Каково $I(20)(\omega_2)=?$

Если уже без перебора элементарных исходов Вы готовы назвать правильное значение $I(20)$, сделайте это, пожалуйста. Повторюсь: ответ

vicvolf в сообщении #980908 писал(а):

Случайная величина $I(20)$ принимает значения: 0,1,2,...20 с вероятностями обобщенного биномиального распределения.

был неверен.

[vicvolf]

Ответ $I(20)(\omega_2)=8$
Ответ $I(20)=8$.

А теперь разрешите мне задать вопрос? Вы согласны с:
Модель Крамера основывается на случайной величине П(х), равной сумме независимых случайных величин "успехов" и "неудач" с разными вероятностями исходов $1/\ln(n)$, где $n$- номер урны.
С П(х) асимптотически стремящейся к нормальному распределению с математическим ожиданием для больших $x$ - $Li(x)$ и дисперсией $\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$, что соответствует моим формулам

[shwedka]

Не следует абсолютизировать Крамера (он мой соотечественник, правильное произношение - с ударением на последнем слоге).
Он не доказал конкретных резльтатов о простых числах . Он, вероятностник, доказал ряд красивых результатов о предполагаемой вероятностной модели простых чисел.
Более того, более поздние точные результаты противоречат результатам, полученным Крамером. См.обзор, где, в частности, изложены такие результаты и даны конкретные ссылки.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #981430 писал(а):

Ответ $I(20)(\omega_2)=8$
Ответ $I(20)=8$.

Отлично. Дисперсия $\mathsf DI(20)$ равна нулю, и всё, что писалось в сообщении post979892.html#p979892, можно выбросить. А также то, что писалось про 4-ю модель.

vicvolf в сообщении #981430 писал(а):

А теперь разрешите мне задать вопрос? Вы согласны с:

Конечно, нет. Эта (первая) модель конструирует $\Pi(x)$ как сумму независимых бернуллиевских случайных величин не с разными, а с одинаковыми вероятностями успеха, для каждого $x$ (или $n$) своими. Т.е. если рассматривается $\Pi(x)=I_1+\ldots+I_x$, то это сумма $x$ штук независимых и одинаково распределённых бернуллиевских случайных величин с какими-то вероятностями успеха - наверное, при больших $x$ близкими к $\dfrac{1}{\ln x}$, я тут не компетентна. Но одинаковыми внутри суммы! В теории вероятностей это называется схемой серий.

-- Пн фев 23, 2015 11:42:58 --

shwedka в сообщении #981449 писал(а):

Более того, более поздние точные результаты противоречат результатам, полученным Крамером. См.обзор, где, в частности, изложены такие результаты и даны конкретные ссылки.

Не специалист в теории чисел, но этот обзор читать не следует. Открываем страницу 4 и сразу видим тот же бред, исходящий уже от автора статьи. См. текст вокруг формул (5) и (6). Матожидание суммы одинаково распределённых случайных величин в модели Крамера есть не $\sum\limits_{n=2}^x \dfrac{1}{\ln n}$, но $x\cdot \dfrac{1}{\ln x}$. И ничего подобного формуле (5) Крамеру не принадлежит. А если кому-то и принадлежит, так его "последователям", которые не знакомы со схемой серий.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #981449 писал(а):

Не следует абсолютизировать Крамера (он мой соотечественник, правильное произношение - с ударением на последнем слоге).
Он не доказал конкретных резльтатов о простых числах . Он, вероятностник, доказал ряд красивых результатов о предполагаемой вероятностной модели простых чисел.
Более того, более поздние точные результаты противоречат результатам, полученным Крамером. См.обзор, где, в частности, изложены такие результаты и даны конкретные ссылки.

Спасибо, я читал этот обзор.

-- 23.02.2015, 10:23 --

--mS-- в сообщении #981494 писал(а):

vicvolf в сообщении #981430 писал(а):

А теперь разрешите мне задать вопрос? Вы согласны с:

Конечно, нет. Эта (первая) модель конструирует $\Pi(x)$ как сумму независимых бернуллиевских случайных величин не с разными, а с одинаковыми вероятностями успеха, для каждого $x$ (или $n$) своими. Т.е. если рассматривается $\Pi(x)=I_1+\ldots+I_x$, то это сумма $x$ штук независимых и одинаково распределённых бернуллиевских случайных величин с какими-то вероятностями успеха - наверное, при больших $x$ близкими к $\dfrac{1}{\ln x}$, я тут не компетентна. Но одинаковыми внутри суммы! В теории вероятностей это называется схемой серий.

Странно ведь в той работе Крамера, на которую я давал ссылку, на стр 26 сказано, что среднее значение равно $Li(x)$.Что Крамер ошибается в своей модели?

Цитата:

Не специалист в теории чисел, но этот обзор читать не следует. Открываем страницу 4 и сразу видим тот же бред, исходящий уже от автора статьи. См. текст вокруг формул (5) и (6). Матожидание суммы одинаково распределённых случайных величин в модели Крамера есть не $\sum\limits_{n=2}^x \dfrac{1}{\ln n}$, но $x\cdot \dfrac{1}{\ln x}$. И ничего подобного формуле (5) Крамеру не принадлежит. А если кому-то и принадлежит, так его "последователям", которые не знакомы со схемой серий.

Значит и Гренвилле также ошибается? Странно ведь известные математики! Что же им никто об этом не сказал за столько лет?

[--mS--]

vicvolf в сообщении #981517 писал(а):

Странно ведь в той работе Крамера, на которую я давал ссылку, на стр 26 сказано, что среднее значение равно $Li(x)$.Что Крамер ошибается в своей модели?

Оп, прошу прощения, невнимательно прочитала Ваш вопрос и решила, что Вы говорите о своей "первой вероятностной модели":

vicvolf в сообщении #909523 писал(а):

Рассмотрим следующую вероятностную модель.

Пусть имеется $x$- шаров, неразличимых на ощупь. Пронумеруем их последовательными натуральными числами от 1 до $x$ и положим в урну.
Выберем из урны на удачу один шар и если его номер принадлежит заранее выбранной целочисленной, положительной, инъективной последовательности, то будем считать это событие "успехом", а если номер шара не принадлежит выбранной последовательности, то будем считать это событие "неудачей". Предположим, что вероятность успешного события равна $p$. Соответственно вероятность неудачного события будет $1-p$.
Введем случайную величину $I_1$ индикатор успешности события. Значение $I_1=1$, если был успех, $I_1=0$, если - неудача.
Вернем шар в урну, перемешаем шары в урне и выберем на удачу 2-ой шар из урны и если его номер принадлежит выбранной последовательности, то присвоим случайной величине $I_2=1$. Если не принадлежит, то - $I_2=0$. Затем вернем 2-ой шар в урну и.т.д. Проделаем это $x$ раз. Таким образом, мы получим последовательность случайных величин - индикаторов успешности событий: $I_1, I_2, ...I_x$.

А заодно и заочно перед автором обзора. Оказывается, Крамер и правда складывает разнораспределённые величины Тогда я полностью теряю Вашу мысль: при чём тут Крамер, если у Вас вообще другая модель? (это риторический вопрос, можно не отвечать).

-- Пн фев 23, 2015 20:49:55 --

vicvolf в сообщении #981517 писал(а):

Значит и Гренвилле также ошибается? Странно ведь известные математики! Что же им никто об этом не сказал за столько лет?

Видимо, меня не было Спасибо, я была не права в оценке этого обзора, но Вы уклоняетесь от темы. Мы тут обсуждали не модель Крамера, как выясняется, а Ваши две (четыре) модели. Анализ второй и четвёртой ошибочен, а первая вроде как никакого отношения к крамеровской не имеет и сомнительно, чтобы из неё можно было получать хоть какие-то выводы о свойствах последовательности простых чисел.

[vicvolf]

Уточнение второй вероятностной модели

За основу возьмем модель Крамера.

Пусть $U_1,...U_i,....$ бесконечный ряд урн, содержащин черные и белые шары и вероятность выбрать белый шар из урны равна $p_i$ (отличие).
Последовательность выбора урн произвольна.

Предположим, что только один шар может быть выбран из каждой урны, поэтому при выборке получается бесконечная серия черных и белых шаров.
Если $P_i$ обозначает количество урн, из которых выбирается $i$ -ый белый шар в серии, то $P_1,P_2,...$ будет возрастающей последовательностью неотрицательных целых чисел.

Мы будем рассматривать класс $C$ из всех возможных последовательностей $(P_i)$. Очевидно последовательность простых чисел относится к данному классу.

Обозначим $I(x)$ количество $P_i$, не превышающих $x$ ($I(x)$ - случайная величина).
Обозначим $I_i$ случайную величину, которая принимает значение 1, если из $i$ -ой урна достается белый шар и значение 0, в противном случае.
Поэтому мы имеем $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$.

Примечание:
Данная модель отличается от модели Крамера только указанной вероятностью $p_i$, обозначениями и погрешностью перевода.
Я конечно мог просто сослаться на статью Крамера, но думаю навряд ли будут читать.
Кстати к данному классу $C$ могут относиться и другие целочисленные, строго возрастающие, неотрицательные последовательности.

-- 24.02.2015, 17:04 --

Далее справедливо.

vicvolf в сообщении #914023 писал(а):

Найдем характеристики случайных величин вероятностной модели 2.

Математическое ожидание случайной величины индикатора успеха $I_i$ равно:
$M(I_i)=1 \cdot p_i+ 0 \cdot (1-p_i)=p_i$. (32)

Дисперсия случайной величины индикатора успеха $I_i$ равна:
$D(I_i)=(1-p_i)^2 \cdot p_i + (p_i)^2 \cdot (1-p_i)=p_i(1-p_i)$. (33)

Определим характеристики $I(x)$.
Ввиду линейности математических ожиданий, математическое ожидание $I(x)$ на основании (32) и (34) равно:
$M(I(X))=M(\sum_{i = 1}^{x}{I_i})=\sum_{i = 1}^{x}{M(I_i)}= \sum_{i = 1}^{x}{p_i}$. (35)

Ввиду независимости случайных величин $I_i$ дисперсия $I(x)$ на основании (33) и (34) равна:
$D(I(x))=D(\sum_{i = 1}^{x}{I_i})=\sum_{i = 1}^{x}{D(I_i)}= \sum_{i = 1}^{x}{p_i(1-p_i)}=\sum_{i = 1}^{x}{p_i}-\sum_{i = 1}^{x}{(p_i)^2}$. (36)

-- 24.02.2015, 17:07 --

vicvolf в сообщении #914518 писал(а):

Предположим, что вероятность натурального числа $n$ быть простым равна $1/\ln(n)$.

Найдем характеристики вероятностной модели 2 для последовательности простых чисел.

Учитывая предположение, математическое ожидание случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (35) равно:

$M(I(x))=\sum_{i = 1}^{x}{p_i}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}\approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} $. (39)

Учитывая предположение, дисперсия случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (36) равна:

$$D(I(x))= \sum_{i = 1}^{x}{p_i-\sum_{i = 1}^{x}(p_i)^2}=\sum_{i = 1}^{x}{1/\ln(i)}-\sum_{i = 1}^{x}(1/\ln(i))^2 \approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$ $. (40)

-- 24.02.2015, 17:17 --

На основании центральной предельной теоремы в форме Ляпунова, которая выполнятся для $p_i=1/\ln(i)$ (см. сообщение от 18.02.2015) следует:

vicvolf в сообщении #914518 писал(а):

Для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|I(x)-\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)}|<C\sqrt{\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}) \approx F(C)$, (41) где $F(C)$ - значение функции стандартного нормального распределения в точке $C$.

Таким образом, можно выбрать такое значение $C$, чтобы вероятность выполнения соотношения (41) была сколь угодно близка к 1.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #981941 писал(а):

Уточнение второй вероятностной модели

Разве мы не выяснили, что "вторую вероятностную модель" не уточнять, а выбросить следует?

vicvolf в сообщении #981941 писал(а):

Если $P_i$ обозначает количество урн, из которых выбирается $i$ -ый белый шар в серии, то ...

Ср.

Крамер писал(а):

Если $P_n$ обозначает номер урны, из который вынут $n$-й белый шар в последовательности, то (далее по тексту).

Остальное не вызывает сомнений, кроме фразы

vicvolf в сообщении #981941 писал(а):

Предположим, что вероятность натурального числа $n$ быть простым равна $1/\ln(n)$.

В какой вероятностной модели "натуральное число $n$ - простое" будет случайным событием с заданной вероятностью?

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #982004 писал(а):

vicvolf в сообщении #981941 писал(а):

Если $P_i$ обозначает количество урн, из которых выбирается $i$ -ый белый шар в серии, то ...

Ср.

Крамер писал(а):

Если $P_n$ обозначает номер урны, из который вынут $n$-й белый шар в последовательности, то (далее по тексту).

Спасибо учту.

Цитата:

Остальное не вызывает сомнений, кроме фразы

vicvolf в сообщении #981941 писал(а):

Предположим, что вероятность натурального числа $n$ быть простым равна $1/\ln(n)$.

В какой вероятностной модели "натуральное число $n$ - простое" будет случайным событием с заданной вероятностью?

Заменим на другую. Пусть вероятность выбрать белый шар $p_i=1/\ln(i)$ для $i>2$.

В ответ на Ваш вопрос я отвечу, что действительно такой вероятностной модели нет. Это просто эвристическое предположение, которое связывает вероятностную модель Крамера с простыми числами:
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 1%80%D0%B0
Существует вероятность, что наугад выбранное натуральное число из интервала [$2,x$] является простым, равна $1/\ln(x)+o(1/\ln(x))$, которая вытекает из асимптотического закона о простых числах. Данная вероятность связывает первую вероятностную модель с простыми числами.

[--mS--]

Спасибо.
Мелочи, конечно, можно поправить всякие типа нулевого знаменателя в первых слагаемых сумм; $F(C)$, которое не функция распределения нормального стандартного закона, а ф.р. модуля нормального стандартного закона (half-normal distr.).

[vicvolf]

Найдем характеристики вероятностной модели 2 для последовательности простых чисел.

Учитывая предположение, математическое ожидание случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (35) равно:

$M(I(x))=\sum_{i = 2}^{x}{1/\ln(i)}\approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} $. (39)

Учитывая предположение, дисперсия случайной величины $I(x)$ для последовательности простых чисел на основании формулы (36) равна:

$$D(I(x))=\sum_{i = 2}^{x}{1/\ln(i)}-\sum_{i = 2}^{x}(1/\ln(i))^2 \approx \int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$ $. (40)

Для больших $x$ на основании (38) получаем соотношение:

$P(|I(x)-\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)}|<C\sqrt{\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}}) \approx F(C)$, (41) где $F(C)$ - значение функции модуля стандартного нормального распределения в точке $C$.

Таким образом, можно выбрать такое значение $C$, чтобы вероятность выполнения соотношения (41) была сколь угодно близка к 1.

-- 25.02.2015, 11:51 --

Теперь устраним ошибки в четвертой вероятностной модели.

Мы будем основываться на вероятностной модели Крамера, рассмотренной выше.

С одной лишь разницей, что вероятность выбрать из $i$-ой урны белый шар равна $p_i=k \ln(i)/\varphi(k)$,
где $kn+l, (k,l)=1, k+l>2$ - арифметическая прогрессия.

Указанная последовательность арифметической прогрессии является целочисленной, неотрицательной, строго возрастающей,
поэтому принадлежит к классу $C$ модели Крамера.

[vicvolf]

Сделаю исправление - $p_i=k/\varphi(k) \ln(i)$.

vicvolf в сообщении #920962 писал(а):

Рассмотрим случайную величину $I(n)=\sum_{i=1}^{n}(I_i)$.
Мы уже определяли характеристики случайной величины $I(n)$ в вероятностной модели 2:
$M(I(n))=\sum_{i=1}^{n}(p_i), D(I(n))=\sum_{i=1}^{n}(p_i)(1-p_i)$.

-- 25.02.2015, 11:59 --

vicvolf в сообщении #921353 писал(а):

Найдем математическое ожидание случайной величины $I(n)$ с учетом $p_i=k/\varphi(k) \ln(i)$:
$M(I(n))=k/\varphi(k) \sum_{i=1}^{n} \frac {1}{\ln(ki+l)} \approx k/\varphi(k) \int_{t=1}^{n} \frac {dt}{\ln(kt+l)}$. (65)

Знак приблизительно в формуле (65) надо рассматривать аналогично последнему сообщению, т.е. при больших значениях $t$ разница между суммой и интегралом пренебрежимо мала.

Сделаем замену переменных в выражении (65) $u=kt+l$ и получим:
$M(I(n)) \approx k/\varphi(k) \int_{t=1}^{n} \frac {dt}{\ln(kt+l)}=k/k\varphi(k)\int_{u=k+l}^{x} \frac {du}{\ln(u)}=1/\varphi(k) \int_{u=k+l}^{x} \frac {du}{\ln(u)}$. (66)

Выражение (66) можно записать в виде:
$M(I(n)) \approx 1/\varphi(k) \int_{u=k+l}^{x} \frac {du}{\ln(u)}=1/\varphi(k)[Li(x)-\int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln(u)}]$. (67)

Величина интеграла в выражении (67) ограничена $\int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln(u)}<(k+l-2)/\ln(2)$ .

-- 25.02.2015, 12:01 --

vicvolf в сообщении #921701 писал(а):

Дисперсия случайной величины $I(n)$ на основании (40) равна:

$$D(I(n))=\sum_{i=1}^{n}(p_i)-\sum_{i=1}^{n}(p_i)^2=k/\varphi(k) \sum_{i=1}^{n} \frac {1}{\ln(ki+l)}-k^2/\varphi^2(k) \sum_{i=1}^{n} \frac {1}{\ln^2(ki+l)}$$ \approx 1/\varphi(k) \int_{k+l}^{x}\frac {du}{\ln(u)}-k/\varphi^2(k) \int_{k+l}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}.(69)$$

Знак приблизительно в формуле (69) надо рассматривать в смысле, что при больших значениях $x$, как я показывал ранее, разница между суммой и интегралом пренебрежимо мала.

Величина интеграла в выражении (69) ограничена $\int_{2}^{k+l} \frac {du}{\ln^2(u)}<(k+l-2)/\ln^2(2)$ и при больших значениях $x$ для дисперсии случайной величины $I(n)$ справедлива следующая формула :
$D(I(n)) \approx 1/\varphi(k) \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln(u)}-k/\varphi^2(k) \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}$. (70)

-- 25.02.2015, 12:12 --
На основании центральной предельной теоремы в форме Ляпунова (см. сообщение от 18.02.2015) и расхождения ряда:
$k/\varphi(k) \sum_{i=2}^{\infty}{1/\ln(i)}-k^2/(\varphi(k))^2 \sum_{i=2}^{\infty}{1/(\ln(i))^2}$
предельным распределением для случайной величины $I(n)$ является нормальное распределение, поэтому при больших $n$ справедливо выражение:

vicvolf в сообщении #922364 писал(а):

$P(|I(n)-M(I(n))|<C \cdot D(I(n)) \aprrox F(C)$ (72),
где $F(C)$- значение функции модуля стандартного нормального распределения в точке $C$.

Подставим в выражение (72) характеристики случайной величины $I(n)$ и получим:
$P(|I(n)-Li(x)/\varphi(k)|< C \sqrt {Li(x)/\varphi(k)-\frac {k}{\varphi^2(k)} \int_{2}^{x}\frac {du}{\ln^2(u)}} \approx F(C)$. (73)

Таким образом, на основании (73) можно выбрать такое значение $C$, чтобы вероятность события
$|I(n)-Li(x)/\varphi(k)|< C \sqrt {Li(x)/\varphi(k)-\frac {k}{\varphi^2(k)} \int_{2}^{x}\frac {du}{\ln^2(u)}}$
была сколь угодно близка к 1.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #982294 писал(а):

Найдем характеристики вероятностной модели 2 для последовательности простых чисел.

Моё терпение иссякает. Отвечайте: чему равна дисперсия $DI(x)$ в "вероятностной модели 2"?

-- Ср фев 25, 2015 21:28:31 --

Если Вы запамятовали, напоминаю, к чему мы совсем не так давно пришли, скажем, при $x=20$ именно для "вероятностной модели 2":

vicvolf в сообщении #981430 писал(а):

Ответ $I(20)(\omega_2)=8$
Ответ $I(20)=8$.

[vicvolf]

Вот, что я понимаю сейчас под второй вероятностной моделью. Считайте, что старой нет.

За основу беру модель Крамера.

Пусть $U_1,...U_i,....$ бесконечный ряд урн, содержащин черные и белые шары и вероятность выбрать белый шар из урны равна $p_i$ (отличие).
Последовательность выбора урн произвольна.

Предположим, что только один шар может быть выбран из каждой урны, поэтому при выборке получается бесконечная серия черных и белых шаров.
Если $P_i$ обозначает номер урны, из которой выбирается $i$ -ый белый шар в серии, то $P_1,P_2,...$ будет возрастающей последовательностью неотрицательных целых чисел.

Мы будем рассматривать класс $C$ из всех возможных последовательностей $(P_i)$. Очевидно последовательность простых чисел относится к данному классу.

Обозначим $I(x)$ количество $P_i$, не превышающих $x$ ($I(x)$ - случайная величина).
Обозначим $I_i$ случайную величину, которая принимает значение 1, если из $i$ -ой урны достается белый шар и значение 0, в противном случае.
Поэтому мы имеем $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$.

Вот что в дальнейшем понимается под четвертой вероятностной моделью. Считайте, что старой нет.

Мы будем основываться на вероятностной модели Крамера, рассмотренной выше.

С одной лишь разницей, что вероятность выбрать из $i$-ой урны белый шар равна $p_i=k/\varphi(k)\ln(i)$,
где $kn+l, (k,l)=1, k+l>2$ - арифметическая прогрессия.

Указанная последовательность арифметической прогрессии является целочисленной, неотрицательной, строго возрастающей,
поэтому принадлежит к классу $C$ модели Крамера.

[--mS--]

А давайте, Вы её "пятой" назовёте? Поскольку к той, что называлась "второй", она не имеет ни малейшего отношения.