Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

Спасибо! Описался:
$z(6) \approx 229 (244, 6.15$),
$z(8) \approx 83 (78, 6.02$%),
$z(10) \approx 99 (100, 1$%).

[vorvalm]

По моим данным фактически при $x=5717$
$z(6)=184,\;z(8)=61,\;z(10)=72.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #965662 писал(а):

По моим данным фактически при $x=5717$
$z(6)=184,\;z(8)=61,\;z(10)=72.$

Вполне соответствует. Можно просчитать по формулам и сравнить.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #965674 писал(а):

Вполне соответствует. Можно просчитать по формулам и сравнить.

Не понял. Вроде все просчитано...

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #965684 писал(а):

Не понял. Вроде все просчитано...

Можно задать $x=5717$, просчитать по этим формулам и сравнить с Вашими фактическими результатами. Но проверено уже в больших диапазонах.

[vorvalm]

...

[vorvalm]

При $x=510510,\;z(6)=7616,\;z(8)=3132,\;z(10)=3931.$

[vicvolf]

Это фактические или расчетные данные?

[vorvalm]

Фактически.

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #966001 писал(а):

При $x=510510,\;z(6)=7616,\;z(8)=3132,\;z(10)=3931.$

Извиняюсь. Обнаружена ошибка в программе. После уточнения приведу другие данные.

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #969110 писал(а):

vorvalm в сообщении #966001 писал(а):

При $x=510510,\;z(6)=7616,\;z(8)=3132,\;z(10)=3931.$

Извиняюсь. Обнаружена ошибка в программе. После уточнения приведу другие данные.

Ошибка в программе исправлена. Привожу точные данные.
При $x=510510,\;z(6)=7654,\;z(8)=3241,\;z(10)=3943.$

[vicvolf]

Спасибо!

[vicvolf]

Поговорим об оценке точности гипотезы Харди-Литлвуда для простых кортежей.

Начнем с проверки выполнения центральной предельной теоремы в форме Ляпунова для второй вероятностной модели.

Напомню формулировку теоремы.

Если взаимно независимые случайные величины $x_1,...x_n,...$ имеют конечные абсолютные центральные моменты третьего порядка $M(|x_i-a_i|^3)$ , ($ i=1,2,...$), где $a_i$ - математическое ожидание случайной величины $x_i$ и если эти моменты удолетворяют условию: $\lim_{n \to \infty}{\sum _{i=1}^{n} M(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}}=0$ (1), то случайная величина $z_n=\sum_{i=1}^{n}x_i$ имеет асимптотическое нормальное распределение.

Во второй вероятностной модели случайная величина $x_i$ принимает значение 1 с вероятностью $p_i$ и значение 0 с вероятностью $1-p_i$. Поэтому $a_i=p_i$.

Тогда

$$M(|x_i-a_i|^3)=M(|x_i-p_i|^3)=(1-p_i)^3 p_i+p_i^3(1-p_i)=(p_i-{p_i}^2)[{(1-p_i)}^2+{p_i}^2].(2)$$

Во второй вероятностной модели дисперсия случайной величины $z_n=\sum_{i=1}^{n}x_i$ равна $D_n=\sum _{i=1}^{n}p_i-\sum _{i=1}^{n}{p_i}^2$. (3)

На основании (2), (3) получим:

$$\sum _{i=1}^{n} M(|x_i-a_i|^3)/(D_n)^{3/2}=\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)[(1-{p_i}^2)+{p_i}^2]/(\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)^{3/2}<1/(\sum _{i=1}^{n}(p_i-{p_i}^2)^{1/2}.(4)$$

Поэтому, если ряд $\sum _{i=1}^{\infty}(p_i-{p_i}^2)$ расходится, то на основании (4) выполняется условие (1) предельной теоремы в форме Ляпунова.

В частном случае, если $p_i=1/\ln(i)$, то условие (1) выполняется.

[--mS--]

Если я правильно я понимаю Вашу вторую модель, случайные величины в ней не только не являются независимыми, но и сумма их постоянна, т.е. её дисперсия равна нулю. Так что ни о какой ЦПТ и речи быть не может.

[vicvolf]

Сумма случайных величин не является постоянной. Она принимает значения от 0 до $x$.