Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #964108 писал(а):

Согласен, например $z(6)$.

Пожалуйста.
Теперь формулы верные.
Можно сократить запись, приняв \int_2^x \frac{dx}{(\ln x)^k}=L_k(x)$, с коэффициентом $A_k$, тогда
$z(m)=y(m)+(-1)^kA_k^{\ast}L_k(x)$, где $A_k^{\ast}=\sum$ коэффициентов $A_k$ при $L_k$.

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #964128 писал(а):

Теперь формулы верные.

У меня сомнения в точности коэффициентов вторых членов $z(8)$ и $z(10)$

[shwedka]

vicvolf в сообщении #943024 писал(а):

В случае, если $x$ бесконечно, то вероятность, что

Дальше это предложение можно не читать. Для бесконечного х, никакой вероятностной меры нет, потому рассуждения о вероятности каких-то событий бессодержательны.

vicvolf в сообщении #943024 писал(а):

В случае, если $x$ большое число, то с вероятностью близкой к 1 все члены нужной последовательности будут учтены. Чем больше число $x$, тем ближе к 1 будет вероятность, что все члены нужной последовательности будут учтены.

Эти утверждения не доказаны. Более того, они ошибочны.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #964245 писал(а):

vicvolf в сообщении #943024 писал(а):

В случае, если $x$ бесконечно, то вероятность, что

Дальше это предложение можно не читать. Для бесконечного х, никакой вероятностной меры нет, потому рассуждения о вероятности каких-то событий бессодержательны.

vicvolf в сообщении #943024 писал(а):

В случае, если $x$ большое число, то с вероятностью близкой к 1 все члены нужной последовательности будут учтены. Чем больше число $x$, тем ближе к 1 будет вероятность, что все члены нужной последовательности будут учтены.

Эти утверждения не доказаны. Более того, они ошибочны.

Спасибо. Полностью согласен. Учту при редактировании текста.

-- 18.01.2015, 22:20 --

vorvalm в сообщении #964128 писал(а):

Можно сократить запись, приняв \int_2^x \frac{dx}{(\ln x)^k}=L_k(x)$, с коэффициентом $A_k$, тогда
$z(m)=y(m)+(-1)^kA_k^{\ast}L_k(x)$, где $A_k^{\ast}=\sum$ коэффициентов $A_k$ при $L_k$.

Согласен.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #964168 писал(а):

У меня сомнения в точности коэффициентов вторых членов $z(8)$ и $z(10)$

$y(2,6) \approx C(2,6)\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}=2^2\prod_p {\frac {1-w(2,6)/p}{(1-p)^3}\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}$,
где $w(2,6)$-число решений сравнения: $x(x+2)(x+6) \equiv 0(\mod p)$.
При $p=2$ сравнение имеет одно решение.
При $p=3$ сравнение имеет два решения.
При $p>3$ сравнение имеет три решения.

Поэтому $C(2,6)=2^2 \frac {1-1/2}{(1-1/2)^3}\frac {1-2/3}{(1-1/3)^3}\prod_{p>3} {\frac {1-3/p}{(1-p)^3}=16 \cdot 9/8 \cdot 0,635166353 \approx 11,43$.

[vorvalm]

К чему такие сложности.
$y(2,6)=y(6,2)=y(2,4)=y(4,2)$
Следовательно, и коэффициенты их равны.
$y(4,6)=y(6,4)=3/2y(2,6)=3/2y(2,4)$

[grizzly]

vicvolf
Ошибка при расчёте $C(2,6)$ примерно в 1 порядок. Такие ошибки обычно ощущаются на интуитивном уровне.

Проверьте у себя, пожалуйста, насчёт этого:

wolfram писал(а):

the product is over odd primes q

-- 19.01.2015, 12:18 --

Ну да, но это только отличается на $p=2$ и уменьшает $C(2;6)$ в 4 раза. Всё равно много остаётся. В формуле у Вас ещё в знаменателе $p$, вместо $1/p$, но это опечатка, а посчитано верно.
Но больше придраться ни к чему не могу.

[grizzly]

vorvalm в сообщении #964682 писал(а):

К чему такие сложности.
$y(2,6)=y(6,2)=y(2,4)=y(4,2)$

Коллеги, предлагаю "сверить часы". Кто из нас что понимает под $y(2,6)$? Я, для примера, понимаю под этим в точности то же, что в упомянутой выше ссылке из Вольфрама называется $\pi_{1,3}$. Но в таком случае $y(6,2)$ вообще становится бессмысленным.

vicvolf,
Не будет ли лучше перейти, пока не поздно, на какие-то общепринятые обозначения (не обязательно опираться на Вольфрам, можно просто посмотреть какие-нибудь статьи).

-- 19.01.2015, 13:55 --

Посмотрите, для примера, как Вы здесь понимаете $C(2,6)$:

vicvolf в сообщении #964567 писал(а):

где $w(2,6)$-число решений сравнения: $x(x+2)(x+6) \equiv 0 (\mod p$)

Скорее всего, что в Вашем понимании нужно было рассматривать сравнение $x(x+2)(x+8) \equiv 0\pmod p$. Если так, то просьба пересмотреть обозначения и уже полученные формулы с учётом нужного понимания.

(Оффтоп)

Используйте, пжл, команду pmod для правильной расстановки пробелов: $\pmod a$.

[vorvalm]

grizzly в сообщении #964764 писал(а):

Коллеги, предлагаю "сверить часы". Кто из нас что понимает под $y(2,6)$? Я, для примера, понимаю под этим в точности то же, что в упомянутой выше ссылке из Вольфрама называется $\pi_{1,3}$. Но в таком случае $y(6,2)$ вообще становится бессмысленным.

По принятым vicvolf обозначениям $y(2,6)$ означает число кортежей $(p,p+2,p+8)$
или для $y(6,2)$ $\rightarrow$ $(p,p+6,p+8)$

[vicvolf]

grizzly в сообщении #964694 писал(а):

vicvolf
Проверьте у себя, пожалуйста, насчёт этого:

wolfram писал(а):

the product is over odd primes q

Да, ошибка была в этом.

-- 19.01.2015, 13:00 --

vorvalm в сообщении #964682 писал(а):

К чему такие сложности.
$y(2,6)=y(6,2)=y(2,4)=y(4,2)$
Следовательно, и коэффициенты их равны.
$y(4,6)=y(6,4)=3/2y(2,6)=3/2y(2,4)$

После исправлений, получается именно так.

-- 19.01.2015, 13:05 --

vorvalm в сообщении #964775 писал(а):

По принятым vicvolf обозначениям $y(2,6)$ означает число кортежей $(p,p+2,p+8)$
или для $y(6,2)$ $\rightarrow$ $(p,p+6,p+8)$

Все верно.

Итак окончательно:

$z(6)=2y(2)-y(2,4)-y(4,2)\approx 2,64 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-5,7 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}$. (7)

$$z(8)=y(2)-y(2,6)-y(6,2)-y(2,4,2)\approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-5,7\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}+ 4,15\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(8)$

$$z(10) =4/3y(2)-y(4,6)-y(6,4)-y(4,2,4)\approx 1,76 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-8,55\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}+8,3\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(9)$

[vorvalm]

Все верно, кроме знака (-) в последних членах первых равенств.
А вы представляете с какими трудностями придется столкнуться при вычислении $z(50)$?
Да уже будут проблемы с $z(12)$ и $z(14)$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #964822 писал(а):

Все верно, кроме знака (-) в последних членах первых равенств.

Уточню:

$z(6)=2y(2)-y(2,4)-y(4,2)\approx 2,64 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-5,7 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}$. (7)

$$z(8)=y(2)-y(2,6)-y(6,2)+y(2,4,2)\approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-5,7\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}+ 4,15\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(8)$

$$z(10) =4/3y(2)-y(4,6)-y(6,4)+y(4,2,4)\approx 1,76 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-8,55\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}+8,3\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(9)$
Теперь все верно?

Цитата:

А вы представляете с какими трудностями придется столкнуться при вычислении $z(50)$?
Да уже будут проблемы с $z(12)$ и $z(14)$

Насчет трудностей с подсчетом $z(12)$ и далее представляю, но я пока не буду этим заниматься.
Для начала я хочу обсчитать по найденным формулам количество пар последовательных простых чисел для некоторых конечных интервалов натурального ряда и сравнить их с реальными.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #964837 писал(а):

Насчет трудностей с подсчетом $z(12)$ и далее представляю, но я пока не буду этим заниматься.

Я этими вопросами занимался лет 30 назад.
Без компьютера дошел до $z(34)$.
А сейчас потерял к этому интерес.

[vicvolf]

По указанным выше формулам подсчитал количество пар последовательных простых чисел для конечных интервалов натурального ряда $x=1000, 7517, 35110$ и сравнил их с реальными.
Реальные данные вместе с относительной ошибкой в процетах приведены в скобках.

Для $x=1000$:
$z(6) \approx 41 (43, 4.58$%),
$z(8) \approx 11 (13, 15. 38$%),
$z(10) \approx 18 (16, 12.5$%).

Для $x=7517$:
$z(6) \approx 229 (244, 6.15$),
$z(8) \approx 11 (78, 6.02$%),
$z(10) \approx 99 (100, 1$%).

Для $x=35110$:
$z(6) \approx 814 (820, 0.73$%),
$z(8) \approx 300 (300, 0$%),
$z(10) \approx 376 (350, 6.65$%).

На основании этих данных видно, что относительная ошибка с увеличением значения x уменьшается, поэтому вероятностная модель Харди-Литлвуда достаточно точная.
Однако, трудоемкость определения количества пар с ростом интервала между последовательными простыми числами резко возрастает.
Поэтому возникает необходимость получения более простых формул для определения количества пар последовательных простых чисел при больших интервалах между ними, хотя возможно с некоторой потерей точности.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #965576 писал(а):

Для $x=7517$:
$z(6) \approx 229 (244, 6.15$),
$z(8) \approx 11 (78, 6.02$%),
$z(10) \approx 99 (100, 1$%).

$z(8)$ - явная ошибка вычислений.