Проваливание окружности в параболу

[Dmitriy40]

Возьмём параболу $y=x^2$. Из $y=+\infty$ будем опускать окружность заранее заданного радиуса $R$ с центром на оси $y$ до касания параболы. Очевидно что окружность радиуса $R=10$ соприкоснётся с параболой где-то высоко (при $y\approx100$) и при этом точек касания параболы будет 2 (последнее уже не совсем очевидно).
Вопрос 1. Возможно при уменьшении радиуса окружности $R$ "погрузить" окружность вплоть до касания "дна" параболы (точки $y=0$)?
Вопрос 2. Возможно ли касание параболы окружностью в трёх точках? Четырёх? Пяти?
Вопрос 3. Если на первый вопрос ответ "да", то каков максимальный радиус окружности $R$, при котором окружность ещё касается "дна" параболы (точки $y=0$)?
Вопрос 4. Если на второй вопрос ответ "да", то при каких условиях (в каких диапазонах радиуса окружности) это возможно?

PS. Сам я ответы нашёл и всё доказал, но может кто ещё захочет поломать голову?

[gris]

Задача интересная, хотя относится к разряду простых учебных. Разве что "проваливание" и "погружение" придаёт ей олимпиадности
Вместо этих слов лучше пригласить радиус кривизны, порядок касания и т.п.

[TOTAL]

Если окружность касается параболы в точке $(X, X^2)$ то центр окружности находится в $(0, X+0.5)$. Кривизна пока не понадобилась.

[Dmitriy40]

На олимпиадность не претендую, написал куда больше подходило. Формулировки - уж как придумалась. А что не сказал сразу про радиус кривизны - не хотел давать намёков.

Без радиуса кривизны не будет доказательства касания ровно в двух точках, а не трёх или четырёх. Собственно изначально вообще искал условия когда будет влиять именно радиус кривизны, а когда "ширина" ветвей параболы.

Пока ответ хоть и частично правильный, но сильно не полный.

[TOTAL]

Dmitriy40 в сообщении #982259 писал(а):

Без радиуса кривизны не будет доказательства касания ровно в двух точках, а не трёх или четырёх.

Если три точки касания, то центр окружности находится в различных точках. Чего не может быть.

[ИСН]

Три точки касания у кривых второго порядка, кажется, вообще никогда не бывает.

[levtsn]

ИСН в сообщении #982286 писал(а):

Три точки касания у кривых второго порядка, кажется, вообще никогда не бывает.

окружность может коснуться параболы в точке о.
может и коснуться ее в двух точках на на одной высоте.
а между этими случаями что?

[Aritaborian]

Между этими случаями либо отсутствие общих точек, либо несколько точек пересечения. Две или четыре. Или две точки пересечения и одна — касания.
(Я, кажется, начал рассматривать общее положение окружности и параболы, отойдя от условий задачи.)

[ИСН]

levtsn в сообщении #982291 писал(а):

а между этими случаями что?

Ничего. Окружность постепенно проваливается в параболу, касаясь её в двух точках, пока эти точки не сходятся в одну на дне. Дальше окружность начинает тупо лежать внизу.

[Munin]

TOTAL в сообщении #982257 писал(а):

Если окружность касается параболы в точке $(X, X^2)$ то центр окружности находится в $(0, X+0.5)$. Кривизна пока не понадобилась.

Давайте рассмотрим достаточно малую окружность, и подставим в вашу формулу $X=0.$

Dmitriy40 в сообщении #982231 писал(а):

PS. Сам я ответы нашёл и всё доказал, но может кто ещё захочет поломать голову?

Можете поломать голову ещё:
- над "проваливанием" окружности в чётностепенную параболу $y=x^{2n},\quad n=1,2,\ldots$;
- в дробностепенную параболу $y=x^{2n/k},\quad n,k=1,2,\ldots$;
- в цепную линию $y=\ch c\equiv\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$;
- в гиперболу $y=\sqrt{x^2+1}$;
- в секанс $y=\sec x\equiv\dfrac{1}{\cos x}$;
- во все вышеперечисленные графики, если их растянуть или сжать по вертикали и по горизонтали с заданными коэффициентами.

[TOTAL]

Munin в сообщении #982321 писал(а):

TOTAL в сообщении #982257 писал(а):

Если окружность касается параболы в точке $(X, X^2)$ то центр окружности находится в $(0, X+0.5)$. Кривизна пока не понадобилась.

Давайте рассмотрим достаточно малую окружность, и подставим в вашу формулу $X=0.$

Пользуйтесь моей формулой только для $X \ne 0$

[Munin]

TOTAL в сообщении #982326 писал(а):

Пользуйтесь моей формулой только для $X \ne 0$

А, ну тогда она годится не для всех окружностей.

[Dmitriy40]

TOTAL в сообщении #982326 писал(а):

Munin в сообщении #982321 писал(а):

TOTAL в сообщении #982257 писал(а):

Если окружность касается параболы в точке $(X, X^2)$ то центр окружности находится в $(0, X+0.5)$. Кривизна пока не понадобилась.

Давайте рассмотрим достаточно малую окружность, и подставим в вашу формулу $X=0.$

Пользуйтесь моей формулой только для $X \ne 0$

Да не, всё правильно, и при $X=0$, но выдаёт лишь один вариант ответа при этом, вместо множества, в этом и есть упомянутая мной неполнота. Да и связи $X$ с радиусом окружности $R$ не видно (но легко вычисляется, да).

Кроме того, не указано в скольких точках будет касание. Видимо в двух, $(\pm X,X^2)$? Неясно почему не в четырёх.

-- 25.02.2015, 15:48 --

ИСН в сообщении #982306 писал(а):

levtsn в сообщении #982291 писал(а):

а между этими случаями что?

Ничего. Окружность постепенно проваливается в параболу, касаясь её в двух точках, пока эти точки не сходятся в одну на дне. Дальше окружность начинает тупо лежать внизу.

Да. Но именно для доказательства этого факта и нужен радиус кривизны параболы. Потому как не очевидно что он (радиус кривизны параболы) всегда больше радиуса окружности и соответственно касаний в 3 и более точках быть не может.

-- 25.02.2015, 15:56 --

Munin в сообщении #982321 писал(а):

Можете поломать голову ещё:

Вот спасибо.

(Оффтоп)

Общие случаи конечно интересны, только это уже перебор для меня, про окружность и параболу вопрос взялся кажется из одной из задач на бросание камня (тут на форуме), заинтересовало почему не стали рассматривать такой бросок, когда камень с верхней точки окружности бросают по касательной, летит он по параболе и снова пересекает окружность, а сразу наложили условие превышения чего-то там радиуса окружности и всё. Вот и задумался а когда вообще ограничивающим условием будет именно радиус окружности, а не "ширина" ветвей.

[Munin]

Dmitriy40 в сообщении #982431 писал(а):

Потому как не очевидно что он (радиус кривизны параболы) всегда больше радиуса окружности и соответственно касаний в 3 и более точках быть не может.

Попробуйте доказать, что радиус кривизны параболы возрастает монотонно, если двигаться от её вершины.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Да себе я уже всё доказал. Это я других сбиваю, чтобы не удовлетворялись простейшими ответами (или прикидками), а проверяли все тонкости.