Предел рекуррентно заданной последовательности

[dsge]

dsge в сообщении #982121 писал(а):

периодических решений или других предельных множеств быть не может, поскольку $z_n=\frac{x_{n}}{x_{n-1}}$ стремится монотонно к единице.

То, что на биссектрисе не может быть других предельных множеств - это почти очевидно.

[TOTAL]

ex-math в сообщении #982055 писал(а):

TOTAL
Не получается, этого неравенства мало.

$t_n=X_n + \frac{1}{X_n}$

$2 \le t_{n+1} = \frac12 (t_n + t_{n-1}) - \frac{(X_{n}-X_{n-1})^2}{2X_{n}X_{n-1}(X_{n}+X_{n-1})}$

Почему мало? Последовательность $t_n$ сходится, поэтому последовательность $X_n$ сходится (а не превращается в $X_{n+1}=X_n^{-1} \ne 1$)

[ex-math]

TOTAL
А как Вы доказываете сходимость $t_n $ из оценки члена средним арифметических двух предыдущих?
Я вижу только вариант проитерировать это неравенство, получив что-то типа $t_{n+k}<(1-2^{-k})t_n+2^{-k}t_{n-1}$. Тогда если последовательность ограничена сверху, получается своего рода "отсроченная монотонность" и можно применить стандартное доказательство через точную нижнюю грань. Может, можно как-то проще и изящнее?

[ИСН]

Что сходится, это ладно; откуда следует, что сходится к 1 (в терминах $t$ - к 2)?

[TOTAL]

ex-math в сообщении #982279 писал(а):

TOTAL
А как Вы доказываете сходимость $t_n $ из оценки члена средним арифметических двух предыдущих?
Я вижу только вариант проитерировать это неравенство, получив что-то типа $t_{n+k}<(1-2^{-k})t_n+2^{-k}t_{n-1}$. Тогда если последовательность ограничена сверху, получается своего рода "отсроченная монотонность" и можно применить стандартное доказательство через точную нижнюю грань. Может, можно как-то проще и изящнее?

Последовательность $M_n=\max\{t_{n}, t_{n-1}\}$ монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому сходится. Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему). Поэтому $X_n $ тоже сходится.

[dsge]

TOTAL в сообщении #982285 писал(а):

Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

$t_1=a, t_2=a, t_n=a, n>2$, где $a$ - любое положительное число.
Мои предположения выше не совсем точны. К тому же собственные числа лианеаризации в т. $(1,1)$ лежат на единичной окружности.

[TOTAL]

dsge в сообщении #982311 писал(а):

TOTAL в сообщении #982285 писал(а):

Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

$t_1=a, t_2=a, t_n=a, n>2$, где $a$ - любое положительное число.

Что может быть, только если $X_1=X_2=X_3= \cdots$, т.к.
$2 \le t_{n+1} = \frac12 (t_n + t_{n-1}) - \frac{(X_{n}-X_{n-1})^2}{2X_{n}X_{n-1}(X_{n}+X_{n-1})}$

[ex-math]

TOTAL
Спасибо. Очень красиво.
А я еще и проврался в своем неравенстве

[dsge]

ex-math в сообщении #982386 писал(а):

TOTAL
Спасибо. Очень красиво.

Да. $\frac12 (t_n + t_{n-1})$ по сути, есть функция Ляпунова.

[Padawan]

TOTAL в сообщении #982285 писал(а):

Последовательность $M_n=\max\{t_{n}, t_{n-1}\}$ монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому сходится. Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

А почему $t_n$ тоже сходится?

[TOTAL]

Padawan в сообщении #983259 писал(а):

TOTAL в сообщении #982285 писал(а):

Последовательность $M_n=\max\{t_{n}, t_{n-1}\}$ монотонно не возрастает и ограничена снизу, поэтому сходится. Поэтому $t_n $ тоже сходится (не важно к чему).

А почему $t_n$ тоже сходится?

Если $M_n$ сходится (сверху) к $M,$ то $2M- M_n \le t_n \le M_n$

[dsge]

dsge в сообщении #982837 писал(а):

ex-math в сообщении #982386 писал(а):

TOTAL
Спасибо. Очень красиво.

Да. $\frac12 (t_n + t_{n-1})$ по сути, есть функция Ляпунова.

Точнее, $t_n + \frac12 t_{n-1}$