Мерность пространства

[maximk]

Имеет ли геометрическое понятие мерности что-нибудь общее с реальной мерностью физического пространства-времени? Взять к примеру понятие размерности, определяемое через базис (который в свою очередь определяется через линейно независимую систему векторов), какова физическая интерпретация такого определения? Размерность задается набором чисел, достаточным для определения положения тела в пространстве?

[Munin]

maximk в сообщении #981658 писал(а):

Имеет ли геометрическое понятие мерности что-нибудь общее с реальной мерностью физического пространства-времени?

Не говорят "мерность", говорят "размерность" (dimension).

Имеет: размерность реального физического пространства, и размерность реального физического пространства-времени - частные случаи геометрического понятия размерности.

maximk в сообщении #981658 писал(а):

Взять к примеру понятие размерности, определяемое через базис (который в свою очередь определяется через линейно независимую систему векторов), какова физическая интерпретация такого определения? Размерность задается набором чисел, достаточным для определения положения тела в пространстве?

Да, только это не физическая интерпретация. А просто геометрическая. А физической интерпретации у математических понятий, взятых самих по себе, не существует.

[maximk]

А если предположить, что размерность "нашего" пространства представляется ненатуральным числом, то тогда всякая физическая интерпретация геометрических теорем в отношении размерности будет неточной для реальных объектов? Верней неточной будет не интерпретация, а информация о свойствах реального физического пространства при этой интерпретации. По крайней мере современная физика опирается на математические факты, в связи с этим встаёт этот вопрос.
Или существуют теории, развитые для дробных размерностей?

[Pphantom]

maximk в сообщении #981906 писал(а):

А если предположить, что размерность "нашего" пространства представляется ненатуральным числом,

А что Вы называете "размерностью пространства"?

[maximk]

То же, что и в учебниках по линейной алгебре (с остальными определениями размерности пока не работал). Например здесь посмотрите http://higeom.math.msu.su/people/taras/ ... lg2012.pdf, 11 страница pdf-файла (в самих конспектах она помечена № 9).

Если вы про физическую размерность, то под мерностью (размерностью) пространства пониманию степень его искривленности (или у физиков эта характиристика пространства независима от размерности?)

[rockclimber]

maximk в сообщении #981920 писал(а):

Если вы про физическую размерность, то под мерностью (размерностью) пространства пониманию степень его искривленности (или у физиков эта характиристика пространства независима от размерности?)

С метрикой не путаете?

[provincialka]

maximk в сообщении #981920 писал(а):

под мерностью (размерностью) пространства пониманию степень его искривленности (или у физиков эта характиристика пространства независима от размерности?)

Да, собственно, и у математиков тоже.

[Pphantom]

maximk в сообщении #981920 писал(а):

То же, что и в учебниках по линейной алгебре (с остальными определениями размерности пока не работал). Например здесь посмотрите http://higeom.math.msu.su/people/taras/ ... lg2012.pdf , 11 страница pdf-файла (в самих конспектах она помечена № 9).

Спасибо, я в курсе. Меня интересует, что лично Вы называете "размерностью пространства", особенно с учетом того, что приведенное Вами определение не допускает возможности нецелой величины размерности.

maximk в сообщении #981920 писал(а):

Если вы про физическую размерность, то под мерностью (размерностью) пространства пониманию степень его искривленности (или у физиков эта характиристика пространства независима от размерности?)

Это что-то совсем не то.

[Munin]

maximk в сообщении #981906 писал(а):

А если предположить, что размерность "нашего" пространства представляется ненатуральным числом, то тогда всякая физическая интерпретация геометрических теорем в отношении размерности будет неточной для реальных объектов?

Вообще говоря, всякая физическая интерпретация математических фактов и так неточна для реальных объектов. И таких неточностей вагон и маленькая тележка. Незачем фантазировать именно о размерности.

maximk в сообщении #981906 писал(а):

По крайней мере современная физика опирается на математические факты, в связи с этим встаёт этот вопрос.

Современная физика опирается на экспериментальные факты.

На математические, впрочем, тоже, но только при условии, что их можно "прицепить" к экспериментальным.

maximk в сообщении #981906 писал(а):

Или существуют теории, развитые для дробных размерностей?

Существуют, конечно. Как сто лет назад такую штуку придумали, так с тех пор и теории существуют. Для вас это может быть чем-то новым, для математики - давно известно.

Но конечно, это не линейная алгебра, а другие теории, более сложные.

[maximk]

Не поделитесь ссылками на литературу по дробной размерности, где можно обо всём этом узнать, а то я несведущ походу.
С тензорами познакомлюсь, возможно это то, о чем я и толкую.
Pphantom, именно поэтому и интересуюсь, есть ли альтертанивные определения размерности так, чтобы можно было допускать нецелую.
А может я и совсем не о тензоре кривизны. Предположим, что пространство, которое мы считаем трехмерным является на самом деле, скажем, \pi -мерным. То есть я имею в виду ту размерность, которую еще начинают вводить в школе (неявно, строя для наглядности координатную плоскость/пространство, что по сути и вводится в линейной алгебре). Возможно шарики, которые мы можем пощупать не трехмерные, а как раз \pi-мерные (ну или размерности сколько угодно близкой к \pi к примеру).
В общем я об этом.

[Munin]

maximk в сообщении #981979 писал(а):

Не поделитесь ссылками на литературу по дробной размерности, где можно обо всём этом узнать, а то я несведущ походу.

Насколько я помню, первым делом понятие дробной размерности возникло при изучении фракталов.

Но возможно, сегодня есть и другие варианты наполнения этого понятия содержанием. Это надо идти к математикам задавать вопрос.

"Размерная регуляризация" в физике - формальный приём.

maximk в сообщении #981979 писал(а):

Предположим, что пространство, которое мы считаем трехмерным является на самом деле, скажем, \pi -мерным.

Нет, разница $\pi-3$ слишком велика, такую большую ошибку мы бы постоянно замечали во всех явлениях повседневной жизни.

Существуют физические законы, которые можно себе представить в пространствах разной размерности. И тогда можно просто сравнить предсказания этих законов с тем, что мы измеряем в эксперименте, и отсюда вычислить размерность нашего пространства. Получается 3, с очень высокой точностью (не берусь сказать, но наугад - скажем, 10 знаков после запятой).

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

maximk в сообщении #981979 писал(а):

Предположим, что пространство, которое мы считаем трехмерным является на самом деле, скажем, \pi -мерным.

Эта идея случайно не отсюда?

Цитата:

Ошибочно и представление о всеобщей трехмерности пространства, на котором прежде всего базируются ваши космогонические представления. Мир хаотичен, в нем нет ничего незыблемого, в том числе и мерности. Мерность пространства во Вселенной колеблется, плавно меняется в весьма широких пределах. Наилучшим условием для возникновения органической жизни является мерность пространства, равная Пи (3,14159…). Значительные отклонения от этой величины пагубно действуют на живую природу. В настоящее время окрестности Солнечной системы имеют мерность +3,00017…, и близость этого числа к целому числу 3 ввела вас в заблуждение.

Подозрение тем большее, что, как видно из цитаты, данный представитель внеземной цивилизации называет размерность пространства мерностью.

[Pphantom]

maximk в сообщении #981979 писал(а):

Pphantom, именно поэтому и интересуюсь, есть ли альтертанивные определения размерности так, чтобы можно было допускать нецелую.

Альтернативные определения всегда можно придумать, но имеющиеся результаты-то сформулированы для обычного.

svv в сообщении #982030 писал(а):

Эта идея случайно не отсюда?

Да, у меня тоже возникла такая мысль.

[maximk]

Наверное вы правы, потому что у меня тоже мысль, что это оттуда.



Ну вы поняли. А вдруг все же он прав?
Я так понял, что все эти понятия размерности изучаются в общей топологии (теория размерности)? Человеку, живущему в пи-мерном пространстве, которому напротяжении многих лет с детства разными способами внушали, что окружающего его пространство трехмерное, сложно выйти за рамки этого убеждения. Хотя конечно я не исключаю возможности, что все свои доводы Левашов придумал, с целью "набить себе рейт" конечно же.

Но ведь результат представления физических законов в пространствах разной размерности зависит от теории, в рамках которой проводятся теоретические выкладки =\