2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантово уравнение
Сообщение23.02.2015, 19:26 


23/02/15
34
Дано уравнения $x^2+y^2=5z^2$, нужно решить его в натуральных числах или доказать что решений нет.
Я рассмотрел все остатки при делении на 5 для $x, y$
У меня получилось что $x, y$ могут иметь вид $ (5k_{1} + 2)\, (5k_{2} + 1);
(5k_{1} + 3)\, (5k_{2} + 1); (5k_{1} + 4)\, (5k_{2} + 2); (5k_{1} + 4)\, (5k_{2} + 3) $
Далее я поделил все на z и свел задачу к "нахождению рациональных точек на окружности с радиусом $\sqrt{5}$" И как действовать дальше не могу придумать
Методом подбора у меня получилось найти одно из решений ($18^2 + 36^2 = 5 \cdot18^2$)
Мне кажется что нужно найти такие числа выше указанного вида которые одновременно делились бы на квадрат натурального числа но как это сделать я не очень представляю.
P/S В общем виде когда уравнение $x^2+y^2=p z^2, p$ - простое, имеет решение (при p=3 решения я найти не смог)

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.02.2015, 19:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11482
Казань
Noct в сообщении #981669 писал(а):
Методом подбора у меня получилось найти одно из решений ($18^2 + 36^2 = 5 \cdot18^2$)

Оригинальное решение! А на 18 сократить все значения переменных не пробовали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.02.2015, 19:57 
Заслуженный участник


23/07/08
7546
Харьков
Если Вы говорите о рациональных точках на окружности $r^2=5$, наверное, Вы понимаете, что каждая подходящая порождает бесконечное множество решений. Тогда скажите, какой точке соответствует Ваше решение $18^2+36^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.02.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13175
с Территории
Noct в сообщении #981669 писал(а):
В общем виде когда уравнение $x^2+y^2=p z^2, p$ - простое, имеет решение (при p=3 решения я найти не смог)
А при простом p=7 или 11 - можете? :mrgreen:
Что же касается первоначальной задачи - не знаю, чего Вы еще хотите. Вы решили его в натуральных числах, вот оно, решение. Его не нет. Или что, надо их все?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение23.02.2015, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1749
Москва
Гуглите "метод секущих Диофанта".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group