Диофантово уравнение

[Noct]

Дано уравнения $x^2+y^2=5z^2$, нужно решить его в натуральных числах или доказать что решений нет.
Я рассмотрел все остатки при делении на 5 для $x, y$
У меня получилось что $x, y$ могут иметь вид $ (5k_{1} + 2)\, (5k_{2} + 1); (5k_{1} + 3)\, (5k_{2} + 1); (5k_{1} + 4)\, (5k_{2} + 2); (5k_{1} + 4)\, (5k_{2} + 3) $
Далее я поделил все на z и свел задачу к "нахождению рациональных точек на окружности с радиусом $\sqrt{5}$" И как действовать дальше не могу придумать
Методом подбора у меня получилось найти одно из решений ($18^2 + 36^2 = 5 \cdot18^2$)
Мне кажется что нужно найти такие числа выше указанного вида которые одновременно делились бы на квадрат натурального числа но как это сделать я не очень представляю.
P/S В общем виде когда уравнение $x^2+y^2=p z^2, p$ - простое, имеет решение (при p=3 решения я найти не смог)

[provincialka]

Noct в сообщении #981669 писал(а):

Методом подбора у меня получилось найти одно из решений ($18^2 + 36^2 = 5 \cdot18^2$)

Оригинальное решение! А на 18 сократить все значения переменных не пробовали?

[svv]

Если Вы говорите о рациональных точках на окружности $r^2=5$, наверное, Вы понимаете, что каждая подходящая порождает бесконечное множество решений. Тогда скажите, какой точке соответствует Ваше решение $18^2+36^2$.

[ИСН]

Noct в сообщении #981669 писал(а):

В общем виде когда уравнение $x^2+y^2=p z^2, p$ - простое, имеет решение (при p=3 решения я найти не смог)

А при простом p=7 или 11 - можете?
Что же касается первоначальной задачи - не знаю, чего Вы еще хотите. Вы решили его в натуральных числах, вот оно, решение. Его не нет. Или что, надо их все?

[ex-math]

Гуглите "метод секущих Диофанта".