Задачи по динамике

[Atom001]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с рядом задач, которые у меня не получаются.

Задача 1.


$g_0=\frac{GM}{R_3^2}; g_h=\frac{GM}{(R_3-h)^2}$
$g_h=\frac{g_0 R_3^2}{(R_3-h)^2}$
$(R_3-h)^2=\frac{g_0 R_3^2}{g_h}$
$h=R_3 - R_3\frac{g_0}{g_h}$
$h=R_3(1-\frac{g_0}{g_h})$
В ответе $h=R_3(1-\frac{g_h}{g_0})$. Что я делаю не так?

Задача 2.


$T=\frac{2\pi R}{\upsilon}$, где $R=R_0+H$
$\upsilon=\sqrt{aR}$
$a=\frac{GM}{R^2}$
Но $g=\frac{GM}{R_0^2} \Rightarrow a=\frac{g R_0^2}{R^2}$
Тогда, $T=2 \pi \sqrt{\frac{R}{a}} = \frac{2 \pi R \sqrt{R}}{R_0 \ sqrt{g}}$
Тогда, заменяя $R$ на $R_0+H$, получаю $T=\frac{2 \pi (R_0+H) \sqrt{R_0+H}}{R_0 \sqrt{g}}$. Мой ответ опять не сходится авторским. Где у меня ошибка?

Задача 3.


Пусть ось y будет перпендикулярна плоскости доски, а ось x направлена вдоль доски. Тогда $F_{tr}=mg\sin{\alpha}$, но также можно записать $N=mg\cos{\alpha} \Rightarrow F_{tr}=\mu N = \mu mg\cos{\alpha}$. Получается два способа записи одной силы трения. Значит, $mg\sin{\alpha}=\mu mg\cos{\alpha} \Rightarrow \sin{\alpha}=\mu \cos{\alpha} \Rightarrow \mu=\tg{\alpha}$. Но тангенс всегда меняется, а мю постоянное. Значит где-то ошибка. Где?

[Ms-dos4]

Ну начнём с первой. Поле внутри шара изменяется НЕ ТАК, как вне её. Закон тут такой $\[g(r) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{{g_0}r}}{R}\]$ (докажите). Делая замену $\[r = R - h\]$ и получая $\[g(h) = \frac{{{g_0}(R - h)}}{R}\]$ уже легко получить искомое



Во второй задаче ответ у вас вроде бы верный (но, возможно, лучше бы получить выражение для скорости непосредственно используя второй закон Ньютона, а не сразу используя космическую), возможно просто автор задачника имел ввиду ещё и упрощение выражения, с учётом $\[H \ll R\]$



Насчёт третьей задачи. Вы путаете силу трения покоя и силу трения скольжения
$\[m\vec a = m\vec g + \vec N + \vec F\]$
Ось $\[x\]$ - вдоль движения бруска, ось $\[y\]$ - перпендикулярно ему. Тогда на ось $\[y\]$ имеем уравнение $\[N = mg\cos \alpha \]$, оно не зависит от того, движется брусок или нет. На ось $\[x\]$ имеем $\[ma = mg\sin \alpha - F\]$. Пока брусок не двигается, $\[a = 0\]$
Тогда $\[F = mg\sin \alpha \]$, и это сила трения ПОКОЯ
Однако, начиная с некоторого угла, она достигнет своего предельного значения, определяемого как $\[F = \mu N\]$ (это сила трения СКОЛЬЖЕНИЯ) (т.е. при угле более $\[{\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta = \mu \]$ начнётся соскальзывание). Вот сила трения скольжения уже записывается как $\[F = \mu mg\cos \alpha \]$

[Munin]

Ms-dos4 в сообщении #980792 писал(а):

Ну начнём с первой. Поле внутри шара изменяется НЕ ТАК, как вне её. Закон тут такой $\[g(r) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{{g_0}r}}{R}\]$ (докажите).

Можно объяснить проще: $g_h=\dfrac{GM_h}{(R_3-h)^2},$ где $M_h$ - масса той части Земли, которая находится глубже глубины $h.$ И вот $M_h$ следует вычислить через известную массу Земли и формулу для объёма шара.

В итоге получится то же самое.

[Atom001]

Ms-dos4 в сообщении #980792 писал(а):

Поле внутри шара изменяется НЕ ТАК, как вне её. Закон тут такой $\[g(r) = \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{{g_0}r}}{R}\]$ (докажите)

Я совсем не подумал про то, что масса Земли, которая действует полем на тело, уменьшается.
Т.е. масса Земли на глубине $h$ равна $M_r = \frac{4}{3} \pi \ro r^3$. Но $M= \frac{4}{3} \pi \ro R^3$. Значит, $M_r=\frac{Mr^3}{R^3}$. Тогда $g_r=\frac{MGr}{R^3}$. Теперь всё сходится!

Ms-dos4 в сообщении #980792 писал(а):

Во второй задаче ответ у вас вроде бы верный (но, возможно, лучше бы получить выражение для скорости непосредственно используя второй закон Ньютона, а не сразу используя космическую), возможно просто автор задачника имел ввиду ещё и упрощение выражения, с учётом $\[H \ll R\]$

В ответе приводится выражение $T=2 \pi \sqrt{\frac{R_0+3H}{g}} \approx 2 \pi \sqrt{\frac{R_0}{g}}(1+\frac{3H}{2R_0})$. Я, честно говоря, никак не могу мой ответ подогнать под авторский.

Ms-dos4 в сообщении #980792 писал(а):

Насчёт третьей задачи. Вы путаете силу трения покоя и силу трения скольжения

Теперь всё ясно. Спасибо!

[Ms-dos4]

Atom001
Используйте $\[\sqrt {R + H} \approx \sqrt R + \frac{H}{{2\sqrt R }}\]$, а затем подставив в вырежение для периода, уберите ещё и квадратичное по $\[H\]$ слагаемое, которое возникнет после раскрытия скобок

[Atom001]

Ms-dos4, спасибо! С приведённым Вами соотношением всё хорошо подводится под авторский ответ.

[Munin]

Atom001
А вы само это соотношение понимаете?

[Atom001]

Честно говоря, сразу не понял, а просто подставил и сделал все необходимые преобразования. Потом решил его проверить (возвёл в квадрат обе части). Но для меня сейчас оно является просто математическим трюком. Или это соотношение имеет определённый физический смысл?

[Ms-dos4]

Atom001
Это никакой не трюк (это равенство только приблизительное, и работает хорошо когда $\[H \ll R\]$), это первые члены разложения в ряд Тейлора. Более просто - мы заменяем функцию на её касательную, и дальше смотрим значения именно по касательной, полагая что в окрестности точки касания они близки к настоящим

[Munin]

Atom001 в сообщении #980869 писал(а):

Или это соотношение имеет определённый физический смысл?

Оно имеет скорее математический смысл, но в физике он очень часто применяется. Ms-dos4 говорит о ряде Тейлора, но это даже ещё более базовые понятия: величины бесконечно малые и бесконечно большие, и их эквивалентность.

В математике, вы рассматриваете функцию $\sqrt{R+H},$ и её предел в точке $H\to 0.$ В этом пределе функция не только имеет конкретное предельное значение ($\sqrt{R+H}\to\sqrt{R}$), но и некоторое поведение вокруг этого значения. Это поведение может быть описано через понятия эквивалентности функций, то есть, можно подобрать другие функции, которые будут отличаться от $\sqrt{R+H}$ на $o(H).$ Такие функции не только проходят через ту же точку при $H=0,$ но и их графики лежат близко к функции $\sqrt{R+H}$ в окрестности этой точки.

Для математики эти рассуждения имеют смысл в понятиях бесконечно малых величин: мы берём какие-то малые числа, потом ещё меньше, и так далее до бесконечности. Все промежуточные шаги для математики лишь предварительны, неинтересны. А в физике наоборот, в физике не бывает в буквальном смысле никаких бесконечно малых величин, но бывают величины пренебрежимо малые - это когда они слишком малы, чтобы их учитывать в расчётах, или чтобы их заметили измерительные приборы. Поэтому в физике подобные формулы используются в примерном смысле: мы знаем, что точно одна величина другой не равна, но мы знаем также, что ошибка достаточно мала, и пренебрегаем этой ошибкой. (Отдельно, в физике возникает отдельная тема оценки величины ошибки - чтобы пренебрегать ею не вслепую и наугад, а осознанно и ответственно.)

Например, пусть $R=6300\text{ км},$ и $H=100\text{ км}.$ Тогда одна формула даёт величину $80\,\sqrt{\text{км}},$ а другая - $80{,}002\,480\ldots\sqrt{\text{км}}.$ Мы видим, что разница возникает в пятой значащей цифре - это очень немного, несколько стотысячных долей. Этим обычно в задачах по физике можно пренебречь: в школе задачи решают с точностью 1-2 значащие цифры, в практических применениях расчёты обычно делают с точностью 2-4 значащие цифры. Только довольно прецизионные измерения и соответствующие расчёты могут достигать 6 и больше значащих цифр - и обычно это оговаривается отдельно. Таким образом, математическое понятие поведения функции в бесконечно малой близости к заданной точке - в физике оборачивается методом приближённых расчётов и оценок в достаточно малой окрестности заданной точки.

Такие расчёты в физике очень важны: весьма часто полное и точное решение задачи математически очень сложно (если вообще вычислимо), но простительное огрубление такого решения оказывается намного проще. Поэтому, очень важно знать, если в задаче есть какой-то малый параметр - такая величина, которая мала по сравнению с другими малыми величинами, как например, здесь $H$ по сравнению с $R.$ Конечно, сто километров - это много по сравнению с десятиэтажным домом и даже с Останкинской башней, но по сравнению с радиусом Земли - это мелочь, чуть больше полутора процентов. И тогда можно рассмотреть приближения нулевого порядка: пренебрегая вообще всеми величинами порядка малости $H/R$; первого порядка: не пренебрегая величинами порядка малости $H/R,$ но пренебрегая всеми величинами более высших порядков малости $(H/R)^n,\quad n>1$; второго порядка: не пренебрегая величинами порядка малости $(H/R)^2$; и так далее. Иногда применяется метод последовательных приближений: сначала вычисляют ответ в приближении нулевого порядка, потом его используют, чтобы вычислить ответ первого порядка, потом на его основе вычисляют ответ второго порядка и т. д. Ещё близкий термин - исследование (малых) возмущений.

Есть ещё одна разновидность приближённых расчётов в физике, ещё более "незаконная" с точки зрения математики - это расчёты с точностью до порядка величины. В таких расчётах не только пренебрегают всеми сложными зависимостями, оставляя только приближения нулевого порядка, но и пренебрегают вычислением точных численных множителей, считая, что все они "порядка единицы". Это может быть справедливо, например, когда мы оцениваем отношение массы атома к массе человека: какая нам разница, весит человек 50 кг или 100 кг (для некоторых людей это очень важно!), если бо́льшая часть числа - это 26 десятичных порядков разницы? С точки зрения десятичного логарифма, 26 - это целая часть логарифма, а различия между 50 и 100 укладываются в дробную часть логарифма. Тут можно и считать человека "приближённо" шаром радиусом в 1 метр :-) Зато такие расчёты позволяют быстро оценить порядки величин, чтобы сразу сделать выводы о том, что важно, а что не имеет значения: например, нужно ли учитывать влияние Юпитера и Венеры на земные приливы, или достаточно ограничиться влиянием Луны и Солнца?

[Atom001]

Munin, спасибо большое за такое развёрнутое объяснение!
Я с рядом Тейлора не знаком, поэтому у меня возник ещё один вопрос. А насколько второе слагаемое в том соотношении важно? Почему его нельзя опустить? Ведь, даже если взять Ваш, Munin, пример $\frac{100\text{км}}{2\sqrt{6300\text{км}}}\approx 0.63\sqrt{\text{км}}$, при этом $\sqrt{R+H}=\sqrt{6300\text{км}+100\text{км}}=80\sqrt{\text{км}}$, значит второе слагаемое составляет всего лишь $x=\frac{100\cdot 0.63\sqrt{\text{км}}}{80\sqrt{\text{км}}}=0.8\%$. Это ведь не такая уж большая ошибка для школьной задачи.

[Munin]

Да, в конечном ответе это второе слагаемое можно было бы отбросить, но в промежуточных выкладках его лучше удержать. Потому что вы можете вычислять какую-то величину, для которой это слагаемое станет важным. Например, если у вас появится где-то выражение $\sqrt{R+H}-\sqrt{R},$ то поторопившись отбросить малую поправку для первого корня, вы столкнётесь с тем, что вычтете из одного числа другое такое же, и разность у вас окажется нуль. Это уже не такая маленькая ошибка: вы ошибётесь на 100 % от искомой величины!

Пока практическое правило можете считать таким: в промежуточных вычислениях удерживаете члены первого порядка малости, и всё, что из них получится, а в окончательном ответе отбрасываете все более высокие степени, берёте до члена первого порядка, если надо (и особенно, если в нулевом порядке будет нуль), а если не надо - можете и первый порядок отбросить.

Более подробно вы всё это изучите, когда пройдёте ряд Тейлора. Впрочем, никто не мешает вам прямо сейчас взять учебник, например, Фихтенгольца.

[Atom001]

Munin, ясно. Спасибо!

[Atom001]

Задача 4.

Цитата:

Мальчик бросает мяч массой 1 кг вслед грузовику, движущемуся со скоростью 7 м/с. Мяч ударяется перпендикулярно поверхности заднего борта грузовика. Определите импульс силы, подействовавшей на грузовик, если удар абсолютно упругий, а скорость мяча до удара 15 м/с. Чему равна скорость мяча после удара?

Что-то я запутался со знаками.
1) $\vec{\upsilon_{\text{а}}}=\vec{\upsilon_{\text{от}}}+\vec{\upsilon_{\text{п}}}$
$\Delta \vec{p}=\vec{p}-\vec{p_0}$
$\vec{F}t=\Delta \vec{p}$

2) Пусть ось x направлена в сторону движения грузовика.

3) Тогда, $\upsilon_{\text{от}x}=\upsilon_{\text{а}}-\upsilon_{\text{п}}$
$\Delta \vec{p_x}=-p-p_0$
$Ft=\Delta \vec{p_x}$

4) По закону сохранения импульса скорость мяча поменяет направление, но не поменяет модуль. Значит, $p=p_0=m\upsilon_{\text{от}x}$

5) $Ft=-p-p_0=-2p=-2m\upsilon_{\text{от}x}=-2m(\upsilon_{\text{а}}-\upsilon_{\text{п}})=2m(\upsilon_{\text{п}}-\upsilon_{\text{а}})$.

Выходит с минусом какая-то несостыковка. Подскажите, где я что-то делаю не так.

[mihiv]

Atom001, вы нашли импульс силы, действовавшей на мяч. По третьему закону Ньютона та кая же сила, но с обратным знаком действовала на грузовик.