кинетическая энергия

[svv]

$Jab=J_{ik}a^i b^k$ — скаляр, $\frac d{dt}$ — его производная по времени.

$J, a, b$ постоянны в системе, связанной с телом. Но так как $Jab$ скаляр, он постоянен также и в инерциальной системе, и всё дальнейшее рассуждение у меня относится к инерциальной системе.

[Oleg Zubelevich]

svv в сообщении #980782 писал(а):

Но так как $Jab$ скаляр, он постоянен также и в инерциальной системе,

а почему вдруг кинетическая энергия должна быть постоянной? этого в задаче не дано

[svv]

Какая кинетическая энергия?
Давайте по пунктам. Пусть $a$ и $b$ — два произвольных вектора, постоянных в системе тела. Т.е. они вращаются вместе с телом. В таком случае:
1) В системе тела $Jab$ есть константа, т.к. в системе тела $J,a,b$ константы.
(Всё последующее относится только к инерциальной системе.)
Следовательно, $Jab=J_{ik} a^i b^k$ константа и в инерциальной системе, ибо это скаляр.
2) $\dot a=[\omega, a]$, $\dot b=[\omega, b]$
До этого момента мои рассуждения понятны?

[Oleg Zubelevich]

Да, до этого момента Ваши рассуждения понятны. Дальше?

-- Сб фев 21, 2015 13:34:02 --

да, я Вас понял

[svv]

Следовательно, $\dot J ab+J \dot ab+J a\dot b=0$ (в инерциальной, далее не оговариваю), хотя сами тензор и векторы, понятно, меняются («вращаются»).

Теперь я хочу доказать, что $\dot J \omega\omega =0$. Это значит — доказать, что $\dot J \omega\omega =0$ в произвольно выбранный момент времени $t_0$.

Воспользуемся тем, что значения векторов $a$ и $b$ в любой заранее заданный момент можно выбрать произвольно. (Их значения во все другие моменты тем самым определятся, если известно движение твердого тела, к которому они привязаны.)

Выберем их так, чтобы в момент $t_0$ они совпали с $\omega$. (В другие моменты, разумеется, совпадение не гарантируется.)

Тогда в момент $t_0$ имеем
$\left.\frac {da}{dt}\right|_{t_0}=[\omega, a]=[\omega, \omega]=0$
$\left.\frac {db}{dt}\right|_{t_0}=0$.
OK?

-- Сб фев 21, 2015 12:57:41 --

svv в сообщении #980806 писал(а):

да, я Вас понял

Я поздно это увидел...

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #980770 писал(а):

$$\frac{d}{dt}(J_C\overline \omega)=\frac{\delta}{\delta t}(J_C\overline \omega)+[\overline \omega,J_C\overline \omega]=J_C\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,J_C\overline \omega]$$

где $\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная вектора в системе координат жестко связанной с твердым телом. При этом

$$\frac{d}{dt}\overline\omega=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,\overline \omega]=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega.$$

Обобщение. Для любого линейного оператора $A$

$$ \frac{d A}{dt}=\frac{\delta A}{\delta t}+(\Omega A-A\Omega)\, , $$

где оператор $\Omega$ -- векторное умножение на $\omega$, $\Omega x=[\omega,x]$.
Отсюда, если $J_C$ есть константа в репере, жестко связанным с телом, то $\dot J_C\omega=[\omega, J_C\omega]\Rightarrow (\dot J_C\omega,\omega)=(\omega,J_C\omega,\omega)=0$ (смешанное произведение)

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #980863 писал(а):

Обобщение. Для любого линейного оператора $A$

ну что уж, давайте возьмем сразу любой тензор
$T(t)=T_{i_1\ldots, i_n}^{j_1,\ldots j_m}(t)e_{j_1}\otimes\ldots\otimes e_{j_m}\otimes e^{i_1}\otimes\ldots\otimes e^{i_n} $
и продифференцируем, помятуя, что $\dot e_j=\Omega_j^k e_k,\quad \dot e^k=-\Omega_s^ke^s$

[Munin]

Padawan в сообщении #980863 писал(а):

Обобщение. Для любого линейного оператора $A$

$$ \frac{d A}{dt}=\frac{\delta A}{\delta t}+(\Omega A-A\Omega)\, , $$

где оператор $\Omega$ -- векторное умножение на $\omega$, $\Omega x=[\omega,x]$.

Что-то мне это напоминает скобку Пуассона.

[Padawan]

Oleg Zubelevich
А в безындексном виде можно записать? Например, для билинейной формы?

[Oleg Zubelevich]

для любого тензора можно записать в безындексном виде, надо только придумать красивый значок

[Padawan]

По методу svv Пусть $g$ - билинейная форма, $x$,$y$ -- постоянные вектора в неподвижной системе. Тогда $\frac{d}{dt} g(x,y)=\frac{\delta}{\delta t} g (x,y)$ Значит,

$$ \dot g(x,y)=\frac{\delta g}{\delta t} (x,y)+g(\frac{\delta x}{\delta t},y)+g(x,\frac{\delta y}{\delta t})=\frac{\delta g}{\delta t} (x,y)-g(\Omega x,y)-g(x,\Omega y) $$

[Oleg Zubelevich]

Можно еще отметить следующее. Пусть у нас вместо твердого тела движется сплошная среда, а $e_i=e_i(t,\xi)$ -- базисные векторы лагранжевой системы координат $(\xi)$. Естественно, как и выше мы получим $\dot e_i=\Omega_i^je_j$ -- это можно считать определеним оператора $\Omega$. Только теперь этот оператор уже не обязан быть кососимметричным как в твердом теле. Тензор скоростей деформаций вычисляется по формуле
$e_{ij}=(\Omega_{ij}+\Omega_{ji})/2$. Индекс у оператора $\Omega$ опущен с помощью метрического тензора объемлющего пространства (инерциальной системы).

[Oleg Zubelevich]

а еще к этому можно добавить, что $\Omega_i^j=\nabla_iv^j,\quad v--$ поле скоростей в среде, в твердом теле в частности