2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 21:43 


10/02/11
6786
кинетическая энергия твердого тела твердого тела с неподвижной точкой $C$ вычисляется по формуле $T=(J_C\overline \omega,\overline \omega)/2$. Доказать, что $\dot T=(J_C\dot{\overline \omega},\overline \omega)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
$d(\vec{a},\vec{b})=(d\vec{a},\vec{b})+(\vec{a},d\vec{b})$
$(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 22:47 


10/02/11
6786
ну это без комментариев, а задача остается.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение09.05.2013, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
Что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 00:37 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
$\[K = \frac{1}{2}({\bf{J\omega }},{\bf{\omega }})\]$

где

$\[{\bf{\omega }} = ({\omega _1},{\omega _2},{\omega _3})\]$

$\[{\bf{J}}\]$ - тензор инерции относительно точки C

Сделаем преобразование

$\[{\bf{\tilde J}} = \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{J}}){\bf{E}} - {\bf{J}}\]$

Тогда

$\[K =  - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J\tilde \omega }})\]$

где

$\[{\bf{\tilde \omega }} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - {\omega _3}}&{{\omega _2}}\\
{{\omega _3}}&0&{ - {\omega _1}}\\
{ - {\omega _2}}&{{\omega _1}}&0
\end{array}} \right)\]$

Имеем

$\[\dot K =  - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J\tilde \omega }}) - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})\]$

Известно, что $\[{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}) = {\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T}) = {\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({(\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T}{{{\bf{\tilde J}}}^T}{{{\bf{\tilde \omega }}}^T})\]$

Но в нашем случае ввиду симметричности/кососимметричности соотв. матриц

$\[\begin{array}{l}
{(\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})^T} =  - \frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}\\
{{{\bf{\tilde J}}}^T} = {\bf{\tilde J}}\\
{{{\bf{\tilde \omega }}}^T} =  - {\bf{\tilde \omega }}
\end{array}\]$

Отсюда

$\[\dot K =  - {\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J}}\tilde \omega )\]$

(или в исходной форме записи $\[\dot K = ({\bf{J}}\frac{{d{\bf{\omega }}}}{{dt}},{\bf{\omega }})\]$)

Ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 04:34 


10/02/11
6786
Ms-dos4 в сообщении #721745 писал(а):
Имеем

$\[\dot K = - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} (\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}}{\bf{\tilde J\tilde \omega }}) - \frac{1}{2}{\mathop{\rm Sp}\nolimits} ({\bf{\tilde \omega \tilde J}}\frac{{d{\bf{\tilde \omega }}}}{{dt}})\]$


а почему, скажем, Вы не дифференцируете по времени $\bf{\tilde J}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 04:56 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Oleg Zubelevich в сообщении #721783 писал(а):
а почему, скажем, Вы не дифференцируете по времени $\bf{\tilde J}$?


Забыл указать, была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом. Поэтому компоненты тензора инерции не меняются, а проекции угловых скоростей - да.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 05:09 


10/02/11
6786
Ms-dos4 в сообщении #721784 писал(а):
была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом.


в таком случае производная по времени от компонент вектора
Ms-dos4 в сообщении #721745 писал(а):
е

$\[{\bf{\omega }} = ({\omega _1},{\omega _2},{\omega _3})\]$

не совпадает с $\dot{\overline\omega}$ указанным в условии задачи

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение10.05.2013, 06:13 


10/02/11
6786
Oleg Zubelevich в сообщении #721786 писал(а):
не совпадает


точнее: "не для всякого вектора совпадает", почему совпадает для $\overline\omega$ :?:


что уже подсказка :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение13.05.2013, 16:48 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Ms-dos4 в сообщении #721784 писал(а):
Забыл указать, была выбрана система отсчёта, жёстко связанная с телом

А чему равна угловая скорость тела в системе отсчета жёстко связанной с телом? :?

Можно опять же расписать момент импульса через радиус-вектор точки тела векторно на ее скорость и, пару раз применив бац-цаб и ортогональность векторного произведения исходным векторам, показать, что $((\frac{d}{dt}J_C)\omega,\omega)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение17.02.2015, 16:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Сообщение Yustas отправлено в Карантин («Вопрос про кинетическую энергию»).

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение17.02.2015, 18:01 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Пусть векторы $a$ и $b$ жестко связаны с твердым телом. Тогда $\dot{a}=[\omega,a]$, $\dot{b}=[\omega,b]$.

Пусть $Jab$ означает $(Ja, b)$. Тогда $0=\frac{d}{dt}(Jab)=\dot J ab+J\dot{a}b+Ja\dot{b}$ ($\heartsuit$)

Пусть в текущий момент $a=b=\omega$. Тогда в этот момент $\dot a=\dot b=[\omega, \omega]=0$. Подставляя в ($\heartsuit$), получим $\dot J\omega\omega=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение21.02.2015, 12:10 


10/02/11
6786
svv в сообщении #979600 писал(а):
Тогда $0=\frac{d}{dt}(Jab)$

а это почему?

-- Сб фев 21, 2015 12:17:28 --

Решение:
$$\frac{d}{dt}(J_C\overline \omega)=\frac{\delta}{\delta t}(J_C\overline \omega)+[\overline \omega,J_C\overline \omega]=J_C\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,J_C\overline \omega]$$
где $\frac{\delta}{\delta t}$ -- производная вектора в системе координат жестко связанной с твердым телом. При этом
$$\frac{d}{dt}\overline\omega=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega+[\overline \omega,\overline \omega]=\frac{\delta}{\delta t}\overline \omega.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение21.02.2015, 12:24 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Oleg Zubelevich
В базисе, жестко связанном с телом, $J, a, b$ постоянны, а $Jab$ не зависит от базиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: кинетическая энергия
Сообщение21.02.2015, 12:30 


10/02/11
6786
тогда непонятно, что Вы разумеете под $d/dt$ . если это производная относительно инерциальной системы (стандартная) то Ваш вывод неверен, если это та производная, что я обозначил дельтами, то это не то, что требовалось в условии задачи

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group