Вероятностная оценка распределения простых чисел

[--mS--]

При любом фиксированном $x$ (которое не случайно) сумма постоянна и равна числу членов последовательности $f(n)$, не превышающих $x$.

[vicvolf]

Спасибо за замечание.

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #979958 писал(а):

Если я правильно я понимаю Вашу вторую модель, случайные величины в ней не только не являются независимыми, но и сумма их постоянна, т.е. её дисперсия равна нулю. Так что ни о какой ЦПТ и речи быть не может.

Возможно я не совсем точно выразился в работе и этим ввел в заблуждение.
Количество членов инъективной, положительной, целочисленной последовательности $f(n)$ на интервале натурального ряда от 1 до $x$, где $x$ -фиксированное число, $\pi(f,1,x)$ - конечно не является случайной величиной.
Однако, случайную величину можно рассматривать, как некоторый аналог величины $\pi(f,1,x)$.
Так, например, делает Крамер в свой работе http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf (см. третий абзац сверху стр. 26).

Теперь вернемся ко второй вероятностной модели.

Рассмотрим подробнее случайную величину $I_i$. Что значит, что случайная величина $I_i$ принимает значение 1 с вероятностью $p_i$ и значение 0 с вероятностью $1-p_i$?

Это значит, что производится бесконечная серия испытаний и в части этих испытаний случайная величина $I_i$ принимает значение 1, а в части - 0. Вероятность $p_i$ - это доля 1 в этой серии, а вероятность $1-p_i$ - это доля 0 в этой серии. Поэтому случайная величина $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$ является суммой независимых случайных величин и может принимать значение от 0 до $x$.

Следовательно, случайная величина $I(x)$ во второй вероятностной модели не является постоянной и имеет дисперсию, отличную от 0, о которой говорилось ранее.
Поэтому вполне правомочен вопрос о применимости к $I(x)$ из второй вероятности модели ЦПТ в форме Ляпунова, который рассматривался выше.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #980503 писал(а):

Что значит, что случайная величина $I_i$ принимает значение 1 с вероятностью $p_i$ и значение 0 с вероятностью $1-p_i$?

Это значит, что производится бесконечная серия испытаний и в части этих испытаний случайная величина $I_i$ принимает значение 1, а в части - 0. Вероятность $p_i$ - это доля 1 в этой серии, а вероятность $1-p_i$ - это доля 0 в этой серии. Поэтому случайная величина $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$ является суммой независимых случайных

'Поэтому'... На
этом месте стоп. Предшествующие этому 'поэтому' рассуждения даже и не претендуют на обоснование независимости рассматриваемых случайных величин.

[vicvolf]

shwedka в сообщении #980526 писал(а):

Предшествующие этому 'поэтому' рассуждения даже и не претендуют на обоснование независимости рассматриваемых случайных величин.

Я понимаю, что для последовательных простых чисел независимость $I_i$ не выполняется, а выполняется только для простых, находящихся на достаточно большом расстоянии.
Вторая вероятностная модель является гипотезой, поэтому я вправе сделать предположение о независимости случайных величин $I_i$. Пока для моих целей этого было достаточно, а о других случаях я буду говорить особо.

[shwedka]

vicvolf в сообщении #980544 писал(а):

поэтому я вправе

Не вправе.
МОжно написать: Сделаем дополнительное предположение....
Но потом обязатеьно
'теперь рассмотрим случай, когда предположение о независимости не выполняется.'

vicvolf в сообщении #980544 писал(а):

а выполняется только для простых, находящихся на достаточно большом расстоянии.

Это утверждение лишено точного смысла.

[vicvolf]

Цитата:

МОжно написать: Сделаем дополнительное предположение....
Но потом обязательно
теперь рассмотрим случай, когда предположение о независимости не выполняется.

Спасибо, использую.

vicvolf в сообщении #980544 писал(а):

а выполняется только для простых, находящихся на достаточно большом расстоянии.

Цитата:

Это утверждение лишено точного смысла.

Уточню в дальнейшем изложении.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #980559 писал(а):

Уточню в дальнейшем изложении.

Предлагаю автору выяснить, что такое константа, чему равна её дисперсия, может ли сумма независимых случайных величин быть постоянной, и сделать выводы. Прежде чем продолжать что-то обсуждать. Уточнять тут нечего. Всё, что Вы поняписали про вторую модель - всё неверно. И не может быть сделано верно. ЦПТ для случайных величин, сумма которых - константа - не работает.

Что же до ссылки на третий абзац стр. 26, то там написано примерно следующее: обозначим через $\Pi(x)$ количество $P_n\leqslant x$ по аналогии с обозначением $\pi(x)$ для числа простых, меньше либо равных $x$. И ничего более. Переводите правильно, и случайные величины перестанут "быть равны" постоянным.

[vicvolf]

--mS-- в сообщении #980568 писал(а):

Предлагаю автору выяснить, что такое константа, чему равна её дисперсия, может ли сумма независимых случайных величин быть постоянной, и сделать выводы. Прежде чем продолжать что-то обсуждать. Уточнять тут нечего. Всё, что Вы поняписали про вторую модель - всё неверно. И не может быть сделано верно. ЦПТ для случайных величин, сумма которых - константа - не работает.

Значит вероятностный подход к распределению простых чисел Вы не признаете. Хотя именно в статье, на которую я делал ссылку, Крамер показывает,используя вероятностные методы, справедливость знаменитой гипотезы о расстоянии между последовательными простыми числами с вероятностью равной 1, т.е. почти всюду. Вероятностный подход используется не только Крамером, но в знаменитых гипотезах Харди-Литлвуда о количестве простых кортежей и во многих других работах по теории чисел. Ведь теория вероятности нужна не сама по себе, а сильна именно своими приложениями.
Хорошо, давайте отвлечемся от использования суммы случайных величин к определению $\pi(x)$.

Предположим, что есть просто задача по теории вероятности. Пусть существует случайная величина $I(x)=\sum_{i=1}^{x} {I_i}$, являющаяся суммой независимых случайных величин "успехов и неудач". Далее производится бесконечная серия испытаний в которых $I_i, (i=1,...x)$ принимает значение бесконечной последовательности 0 и 1, поэтому случайная величина $I(x)$ принимает значения от 0 до х с различными вероятностями, т.е не является постоянной и поэтому имеет дисперсию отличную от нуля. Правомочен ли вопрос о применимости к $I(x)$ ЦПТ в форме Ляпунова?

[--mS--]

К сумме независимых случайных величин в указанных условиях ЦПТ применима. А к сумме Ваших - нисколько. И не надо ссылок на Крамера. Он понимал, что пишет, а Вы - нет.

Пользуясь правом ЗУ в данном разделе, предлагаю Вам для второй модели вычислить, скажем, значение $I(20)$ и затем сообщить нам, чему равна его дисперсия $\mathsf D I(20)$. В качестве последовательности $f(n)$ возьмите последовательность простых чисел.

[vicvolf]

Хороший пример.

Случайная величина $I(20)$ принимает значения: 0,1,2,...20 с вероятностями обобщенного биномиального распределения.

Математическое ожидание: $M[I(20)]=\int_{2}^{20} \frac{dt}{\ln(t)}=8,86014$. Для сравнения количество простых чисел на интервале от 2 до 20: $\pi(20)=8$, т.е. имеется отклонение $|\pi(20)-Li(20)|=0,86014$.

Это не удивительно, так как на основании закона о простых числах справедливо только асимптотическое равенство $\pi(x) \sim Li(x)$ на бесконечности, а на конечном интервале от 2 до х, который мы рассматриваем $\pi(x)$ не равно $Li(x)$, т.е. имеется отклонение $R(x)=|\pi(x)-Li(x)|$, которое я оцениваю в данной работе. Существует много доказанных и недосказанных оценок $R(x)$, наиболее известная из недоказанных - гипотеза Римана: $R(x)=O(x^{1/2}\ln(x))$.

Теперь определим $D[I(20)]=\int_{2}^{20} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{20} \frac{dt}{\ln^2(t)}=8,86014-5,06936=3,79078$ и среднее квадратичное отклонение: $\sqrt {D[I(20)]}=1.94699$.

При $x=20$ распределение уже близко к нормальному с найденным математическим ожиданием $M[I(20)]=8,86014$ и средним квадратичным отклонением: $\sqrt {D[I(20)]}=1,94699$.
Действительно, даже для одного среднеквадратичного отклонения, неравенство:

$$6,91315=M[I(20)]-\sqrt{D[I(20)]}<\pi(20)=8<M[I(20)]+\sqrt{D[I(20)]}=10,80713$$

выполняется с запасом.

[--mS--]

vicvolf в сообщении #980908 писал(а):

Хороший пример.

Случайная величина $I(20)$ принимает значения: 0,1,2,...20 с вероятностями обобщенного биномиального распределения.

Неверный ответ. Думайте ещё.

-- Вс фев 22, 2015 00:39:25 --

На всякий случай напомню, что такое у Вас вторая модель:

vicvolf в сообщении #913570 писал(а):

Вероятностная модель 2

Возьмем $x$ шаров неразличимых на ощупь и пронумеруем их последовательными натуральными числами от $1$ до $x$.
Разложим пронумерованные шары в $x$ урн, в каждую урну по одному шару. В какой урне лежит шар с определенным номером не известно.

Достанем шар из 1-ой урны и если его номер принадлежит определенной целочисленной, положительной, инъективной последовательности $f(n)$ (успех), то присвоим случайной величине индикатора успеха значение $I_1=1$ с вероятностью $p_1$ и значение $I_1=0$ (неудача), если не принадлежит последовательности $f(n)$ с вероятностью $1-p_1$.
Выберем шар из 2-ой урны и если его номер принадлежит последовательности $f(n)$, то присвоим случайной величине индикатора успеха значение $I_2=1$ с вероятностью $p_2$ и значение $I_2=0$, если не принадлежит последовательности $f(n)$ с вероятностью $1-p_2$ и.т.д. $x$ раз.

Величина $I(x)=I_1+\ldots+I_x$.

Поскольку сами Вы разобраться в своей модели не в состоянии, я помогу. Я раскладываю $20$ шаров в $20$ урн, перебирая при этом все возможные элементарные исходы, а Вы для каждого из них подсчитываете $I_1,\ldots,I_{20}$ и сообщаете нам значение их суммы $I(20)$ на этом элементарном исходе. Надеюсь, $20!$ исходов хватит для выяснения закономерности.

Итак, первый элементарный исход (номера шаров в каждой из урн):
$\omega_1=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20)$.
Чему равно значение $I(20)(\omega_1)=?$

[vicvolf]

Вторая вероятностная модель в данной работе мне была нужна только для сравнения с первой.
В качестве второй вероятностной модели я решил взять модель Крамера, предварительно ее упростив. Но наверно из песни слова не выкинешь

Модель Крамера основывается на случайной величине П(х), равной сумме независимых случайных величин "успехов" и "неудач" с разными вероятностями исходов $1/\ln(n)$, где $n$- номер урны.
С П(х) асимптотически стремящейся к нормальному распределению с математическим ожиданием для больших $x$ - $Li(x)$ и дисперсией $\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln(t)} -\int_{2}^{x} \frac{dt}{\ln^2(t)}$, что соответствует моим формулам.

[Deggial]

vicvolf, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.
Кроме того, напоминаю:

Forum Administration в сообщении #27358 писал(а):

3.2.... Безусловно обязательны ответы на вопросы, заданные несколькими участниками, представителями администрации или участниками форума, имеющими статус "Заслуженный". В случае невыполнения этих обязательств, игнорирования вопросов, а также если ответы и аргументы автора признаются участниками форума неубедительными или бессодержательными, тема может быть закрыта.

Вопросы заданы --mS--.

[vicvolf]

Отвечаю на вопрос - Чему равно значение $I(20)(\omega_1)=8$.