Вероятностная оценка распределения простых чисел

[vicvolf]

Продолжение

Теперь вернемся к вероятностной модели 1.

В вероятностной модели 1, в отличие от вероятностной модели 2, $x$ раз производится выборка из всех натуральных чисел, находящихся на интервале $[1,x]$. После каждой выборки проверяется принадлежность выбранного натурального числа целочисленной, положительной, инъективной последовательности.

Обычно, когда мы подсчитываем, сколько натуральных чисел принадлежат нужной последовательности на интервале $[1,x]$ мы перебираем члены натурального ряда последовательно в порядке их увеличения. В данном случае, мы выбираем натуральные числа из интервала $[1,x]$ наугад.

Поэтому, в случае, если $x$ конечно, то существует отличная от нуля вероятность, что один и тот же член нужной последовательности может быть выбран несколько раз, а какие-то члены последовательности из интервала $[1,x]$ вообще могут быть не выбраны.

В случае, если $x$ бесконечно, то вероятность, что один и тот же член нужной последовательности может быть выбран несколько раз равна 0 (также как в вероятностной модели 2), поэтому каждый раз выбирается другой член последовательности. Так как всего существует $x$ натуральных чисел на интервале $[1,x]$, то за $x$ попыток выбирутся все члены нужной последовательности и с вероятностью 1 все они будут учтены.

В случае, если $x$ большое число, то с вероятностью близкой к 1 все члены нужной последовательности будут учтены. Чем больше число $x$, тем ближе к 1 будет вероятность, что все члены нужной последовательности будут учтены.

С формальной стороны вероятностная модель 1 рассматривалась ранее на основании закона больших чисел.

Теперь о методологии.

Известно, что методы теории функции комплексного переменного (ТФКП) стали использоваться для моделирования распределения простых чисел с середины 19 века.
Прорыв в этом направлении сделан Риман в знаменитых гипотезах.
Недооценка ТФКП стоила Чебышеву доказательства закона об асимптотическом распределении простых чисел.

Вероятностные методы стали использоваться для моделирования распределения простых чисел с начала 20 века в гипотезах Литлвудом, Харди, Крамером.
При моделировании распределения простых чисел вероятностные методы дают более сильные результаты, чем ТФКП.
Поэтому не стоит их недооценивать!

[Sval]

Vicvolf, что Вы думаете по поводу таких наблюдений: [ссылка удалена]?

[Deggial]

Sval, предупреждение за саморекламу и попытку захвата темы.
Хотите ообсудить что-то своё - открывайте свою тему, пишите туда свой текст (но не ссылку) и получите обсуждение.
Ссылка удалена.

[vicvolf]

Хотелось бы поговорить о распределении количества пар последовательных простых чисел по величине интервала между ними.

На эту тему известна гипотеза Харди-Литлвуда http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html

В частном случае для определения количества пар простых близнецов не превосходящих х на основании гипотезы получается формула:
$y(2) \approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}$. (1)
Аналогичная формула справедлива для $y(2^k)$, где k- любое натуральное число.

Для определения количества пар последовательных простых чисел с величиной интервала m для других случаев на основании гипотезы получается формула:
$y(m)=y(2) \cdot \prod_{p>2, p|m} \frac {p-1}{p-2}$. (2)

Например, для $m=6, 50$ на основании (2) соответственно получим:
$y(6)=2 \cdot y(2)$. (3)
$y(50)=4/3 \cdot y(2)$. (4)

Вот данные полученные на основании гипотезы Харди-Литлвуда для количества пар последовательных простых чисел с величиной интервала m равного соответственно 2, 4, 6 со значениями х равного соответственно $10^5$, $10^6$, $10^7$, $10^8$ http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html
Из указанных данных видно, что они мало отличаются от реальных.

Формулу (2) можно записать в виде:
$y(m)=y(2) \cdot \prod_{p>2, p|m} (1+\frac {1}{p-2})$. (5)

Из формулы (5) видно, что значение $y(2)$ является минимальным для величины $y(m)$.
Для $x=10^5$ на основании указанных данных $y(2)=1249$.
Поэтому на основании гипотезы не должно быть количество пар последовательных простых чисел при $x=10^5$ меньше, чем 1249 при других величинах интервала m.

Однако, при $m=50$ в реалии $y(50)=5$, что не должно быть на основании (4).
При $m=60$ в реалии $y(60)=1$, что также не должно быть, так как минимальное значение по гипотезе Харди-Литлвуда должно быть 1249.

В чем же дело? Не должно быть таких расхождений. Где я ошибаюсь?

[vorvalm]

Ошибка в применении формулы (2).
Эта формула не для последовательных пар простых чисел с разностью $m$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #961364 писал(а):

Ошибка в применении формулы (2).
Эта формула не для последовательных пар простых чисел с разностью $m$.

При $k=1$ из http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html (смотрите 2-ой абзац, начиная с If k=1, then this becomes ) получаем:
$y(m) \approx C(m) \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}$,
где $C(m)=2 \prod_{p>2}\frac {p(p-2)}{(p-1)^2} \prod_{p>2,p|m}\frac {p-1}{p-2}\approx 1,32 \prod_{p>2,p|m}\frac {p-1}{p-2}$.

Учитывая, что $y(2) \approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}$ получаем:
$y(m) =y(2) \prod_{p>2,p|m}\frac {p-1}{p-2}$.

Если исходная формула не верна, то напишите правильную формулу.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #961614 писал(а):

Если исходная формула не верна, то напишите правильную формулу.

Внимательней читайте сообщения и ссылки. Формула верна, но применять ее надо не для последовательных пар.

[vicvolf]

Да, формулу (2) нужно уточнить:
$y(2m)=y(2) \cdot \prod_{p>2, p|m} \frac {p-1}{p-2}$. (2)

Но результат все равно не меняется.
Например, для $2m=6, 50$ на основании (2) соответственно получим:
$y(6)=2 \cdot y(2)$. (3)
$y(50)=4/3 \cdot y(2)$. (4)

Однако, при $2m=50$ в реалии $y(50)=5$, что не должно быть на основании (4).
При $2m=60$ в реалии $y(60)=1$, что также не должно быть.
В чем же дело?

Думаю дело не в формуле (2), а в том, что в гипотезе Харди-Литлвуда рассматривается асимптотическое распределение на бесконечном интервале.
В реалии мы рассматриваем конечные интервалы и происходит обрезание значений $y(2m)$ при больших значениях $m$.
При небольших интервалах происходит обрезание значений даже при небольших значениях $m$.
Например, при $x=1000$ обрезается уже значение $y(6)$. Значение $y(6)=y(4)=43$, хотя по гипотезе должно быть $y(6)=2y(4)$.
Какое мнение участников форума на этот счет?

Хочу поздравить всех участников форума со Старым Новом годом! Надеюсь, что все вернулись домой после новогодних каникул.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #962152 писал(а):

Да, формулу (2) нужно уточнить:

Формулу не надо уточнять. Она верная. Вы не поняли мое сообщение.
Эта формула верна для $m=2,\;m=4$, но не для $m>4$,
ибо все разности $m>4$ представляются не только парами, но триплетами, квартолями , ...и т.д.
Например $m=6$ может быть триплетами (2,4) и (4,2).

[grizzly]

vicvolf в сообщении #962152 писал(а):

Например, при $x=1000$ обрезается уже значение $y(6)$. Значение $y(6)=y(4)=43$, хотя по гипотезе должно быть $y(6)=2y(4)$.
Какое мнение участников форума на этот счет?

Моё мнение такое, что оба уважаемых собеседника неправы :)

Странно, что $y(m)$ можно понимать каким-то другим способом, кроме буквального, и что таких способов существует больше одного.
В моём буквальном понимании $y(m)$ это количество таких простых $p$, что $p+m$ является простым числом.
В частности, в пределах первой тысячи $y(4)=41$, а $y(6)=74$.

(Оффтоп)

Если вдруг и я ошибаюсь, то заранее благодарю того, кто меня переубедит :)

[grizzly]

vorvalm
Прошу извинить, у Вас всё верно с пониманием. Имея то же понимание с другой стороны, я три Ваших попытки объяснения не воспринял. Подозреваю, что и vicvolf первые две, как минимум, тоже.
Непонятно только, что по-Вашему не так с этой формулой:

vorvalm в сообщении #962160 писал(а):

Эта формула верна для $m=2,\;m=4$, но не для $m>4$,

Там нет таких ограничений, иначе какой же смысл.

[vorvalm]

grizzly в сообщении #962341 писал(а):

Непонятно только, что по-Вашему не так с этой формулой:

Да с формулой все в порядке.
Я под словами "последовательные пары" имел в виду $p_{n+1}=p_n+m$.

[vicvolf]

Спасибо vorvalm и grizzly!

Да, с формулой (2), которая вытекает из формул Харди-Литлвуда все верно, но гипотеза рассматривает не только последовательные простые числа, а все простые числа, находящиеся на расстоянии $m$.
Я же рассматриваю только последовательные простые числа, для которых справедлива формула Харди-Литлвуда только для $y(2) \approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}$.

Уже для определения количества последовательных простых чисел $y(4)$ надо вычесть составной кортеж 3, 5, 7.
Для больших интервалов между последовательными простыми числами сложнее:

$y(6)=2y(2)-y(2,4)-y(4,2)\approx 2,64 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-2\cdot 2,85 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}$. (7)

$$y(8)=y(2)-y(2,6)-y(6,2)-y(2,4,2)\approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-2\cdot 11,43\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}- 4,15\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(8)$

$$y(10) =4/3y(2)-y(4,6)-y(6,4)-y(4,2,4)\approx 1,76 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-2\cdot 17,15\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}-8,3\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(9)$

Буду очень благодарен, если кто-то проверит правильность формул.

[vorvalm]

Триплет 3,5,7 (2,2) - единственный среди простых чисел. Поэтому для асимптотики это совершенно неважно.
Для формул, дающих число последовательных пар, необходимо другое, отличное от числа непоследовательных пар, обозначение. Например $\dot{y}(6)$
Формула $\dot{y}(6)$ - верна.
Но остальные нет.
Если в число последовательных пар входит более 2-х слагаемых одного типа, то эта сумма должна быть знакопеременной.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #964049 писал(а):

Триплет 3,5,7 (2,2) - единственный среди простых чисел. Поэтому для асимптотики это совершенно неважно.

Я собираюсь анализировать как раз конечные интервалы. Например, $x=10^3$, поэтому это имеет значение.

Цитата:

Для формул, дающих число последовательных пар, необходимо другое, отличное от числа непоследовательных пар, обозначение. Например $\dot{y}(6)$

Согласен, например $z(6)$.

Цитата:

Формула $\dot{y}(6)$ - верна.
Но остальные нет.
Если в число последовательных пар входит более 2-х слагаемых одного типа, то эта сумма должна быть знакопеременной.

Вы имеете ввиду:
$$z(8)=y(2)-y(2,6)-y(6,2)-y(2,4,2)\approx 1,32 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-2\cdot 11,43\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}+ 4,15\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(8)$

$$z(10) =4/3y(2)-y(4,6)-y(6,4)-y(4,2,4)\approx 1,76 \int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^2(u)}-2\cdot 17,15\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^3(u)}+8,3\int_{2}^{x} \frac {du}{\ln^4(u)}.(9)$