В целых числах

[grizzly]

nnosipov в сообщении #964042 писал(а):

Было бы интересно выяснить, при любом ли простом $p$ разрешимо сравнение $y^2 \equiv x^7+7 \pmod{p}$. Опыты с небольшими $p$ намекают на разрешимость.

Я и этому предположению немало удивился, а тут вот такое возможно, оказывается! Специалисты, конечно, знают, но прохожим, уверен, будет очень интересно, так что прошу простить, если оффтоп.

(Оффтоп)

Иногда очень не хватает раздела на форуме "Поделиться восхитительным". Там можно было бы темы по предметам посоздавать, а внутри просто как в цитатнике оформить. Оформлю потом как предложение.

[ph11]

$y^2=x^7+7 \Longleftrightarrow y^2+11^2=x^7+2^7=(x+2)(x^6-2x^5+4x^4-8x^3+16x^2-32x+64)\equiv 3(\bmod 4)$

[ph11]

nnosipov в сообщении #964155 писал(а):

Вот похожая задача (М2084 из "Задачника Кванта"): решить уравнение

$$ \frac{x^7-1}{x-1}=y^5-1 $$

в целых числах. Когда её впервые увидел, долго не мог понять, как такие штуки вообще можно решать. Разобравшись (вся фишка оказалась в круговых многочленах и их простых делителях), сконструировал вот такое уравнение:

$$ \frac{x^7-1}{x-1}=y^5-y^4-2y^2 + 1. $$

If $p,q$ are prime and $q|\frac{x^p-1}{x-1}$ then $q\equiv0,1(modp)$
LHS=$\Phi_7(X)$