Магические квадраты

[Nataly-Mak]

Программу по новой формуле написала. Протестировала её на классическом идеальном квадрате, квадрат такой построился:

11 56 47 16 61 52 15 60 51
36 81 18 32 77 14 28 73 10
13 58 49 12 57 48 17 62 53
74 38 2 79 43 7 78 42 6
27 45 63 23 41 59 19 37 55
76 40 4 75 39 3 80 44 8
29 20 65 34 25 70 33 24 69
72 9 54 68 5 50 64 1 46
31 22 67 30 21 66 35 26 71

$K=82, S=369$

Решение отличается от того классического идеального квадрата, который я брала за образец:

11 56 47 16 61 52 15 60 51
18 63 54 14 59 50 10 55 46
13 58 49 12 57 48 17 62 53
74 38 2 79 43 7 78 42 6
81 45 9 77 41 5 73 37 1
76 40 4 75 39 3 80 44 8
29 20 65 34 25 70 33 24 69
36 27 72 32 23 68 28 19 64
31 22 67 30 21 66 35 26 71

Ну, это понятно: решений будет море.
Наступает самый интересный момент: поиск по этой программе квадратов из различных простых чисел.
Для начала протестирую программу на известном квадрате alexBlack.

[Nataly-Mak]

Полностью составить идеальный квадрат 9-го порядка с магической константой 24237 с ходу не удалось (по частной формуле с 12 свободными переменными): перебор идёт очень долго. Вот такое решение с дырками получила:

2267  1367  4919  2927  0  0  4817  2753  3539 
2609  5189  2837  599  3803  3677  1439  2417  1667 
1973  113  2963  3323  3407  0  593  0  0 
2729  0  2477  3389  0  0  5279  4733  1097 
0  4079  0  0  2693  0  0  1307  0 
4289  653  107  0  0  1997  2909  0  2657 
0  0  4793  0  1979  2063  2423  5273  3413 
3719  2969  3947  1709  1583  4787  2549  197  2777 
1847  2633  569  0  0  2459  467  4019  3119

$K=5386, S=24337$

Ещё 22 элемента не вычислены. Думаю, что полное решение существует (именно удовлетворяющее таким дополнительным условиям).
Массив большой - 67 комплементарных пар простых чисел, 134 числа в массиве. Даже 12 свободных переменных перебираются долго, не могу представить, что было бы с 24 свободными переменными.
Хотя... тут возникает такой интересный вопрос: что проще - найти решение из полного пространства решений, используя 24 свободные переменные, или же найти решение из подпространства решений (удовлетворяющее определённым условиям), используя всего 12 свободных переменных
Насколько маленькое это подпространство решений?

Не буду тратить время на поиск решения с известной магической константой, попробую поискать решения с меньшими магическими константами.

-- Пн фев 16, 2015 08:33:18 --

Кстати, в OEIS есть последовательность минимальных магических констант ассоциативных квадратов из простых чисел - A188537, в ней нет магической константы для порядка 9.

В последовательности минимальных магических констант пандиагональных квадратов из простых чисел нижняя граница для магической константы квадратов порядка 9: $a(9) \leqslant 2025 $ (A179440).

Какую минимальную магическую константу может иметь идеальный квадрат 9-го порядка из различных простых чисел
Ну, это просто определить. Надо найти минимальное простое число (которое будет в качестве центрального элементв искомого квадрата), для которого имеется набор не менее чем из 40 комплементарных пар простых чисел.

[Nataly-Mak]

Вот несколько первых простых чисел, которые могут претендовать на роль центрального элемента в идеальном квадрате 9-го порядка из различных простых чисел:

1277 80 
1361 82 
1367 82 
1373 82 
1423 80 
1427 82 
1433 80 
1447 88 
1451 92 
1453 80 
1487 96 
1489 66 
1493 86 
1499 90 
1511 82 
1523 86 
1549 94 
1553 90 
1559 80 
1571 86 
1579 82 
1583 86 

Первая колонка - простое число, вторая колонка - удвоенное количество комплементарных пар чисел.
Таким образом, нижняя граница для магической константы идеального квадрата (а также ассоциативного квадрата) 9-го порядка из различных простых чисел равна 11493.

[Nataly-Mak]

Начала поиск идеального квадрата 9-го порядка из различных простых чисел с центральным элементом 1451.
Массив содержит 46 комплементарных пар с константой комплементарности 2902:

5  23  41  59  83  101  113  149  173  191  239  269  281  293  311  353  359  443  461  479  491  503  509  521  563  569  593  659  761  773  821  839  863  929  953  971  1013  1031  1091  1181  1193  1283  1289  1301  1319  1409  1493  1583  1601  1613  1619  1709  1721  1811  1871  1889  1931  1949  1973  2039  2063  2081  2129  2141  2243  2309  2333  2339  2381  2393  2399  2411  2423  2441  2459  2543  2549  2591  2609  2621  2633  2663  2711  2729  2753  2789  2801  2819  2843  2861  2879  2897

Довольно быстро нашлось такое решение:

1031 461 2411 173 0 0 1013 1601 2609
239 2633 2801 149 1493 2711 59 353 2621
773 1091 1619 1721 593 2459 971 0 0
2897 0 563 2039 0 0 2879 1583 761
0 2591 0 0 1451 0 0 311 0
2141 1319 23 0 0 863 2339 0 5
0 0 1931 443 2309 1181 1283 1811 2129
281 2549 2843 191 1409 2753 101 269 2663
293 1301 1889 0 0 2729 491 2441 1871

$K=2902, S=13059$

Оставшиеся 20 элементов квадрата уже вычисляются, вот они:

1031 461 2411 173 2099 1661 1013 1601 2609
239 2633 2801 149 1493 2711 59 353 2621
773 1091 1619 1721 593 2459 971 2231 1601
2897 443 563 2039 2081 -187 2879 1583 761
4103 2591 -1021 4013 1451 -1111 3923 311 -1201
2141 1319 23 3089 821 863 2339 2459 5
1301 671 1931 443 2309 1181 1283 1811 2129
281 2549 2843 191 1409 2753 101 269 2663
293 1301 1889 1241 803 2729 491 2441 1871

Пока всё плохо: есть не только не простые числа, но и отрицательные числа - такой сильный перекос в структуре квадрата.

Кстати, покажу очень «правильный» идеальный квадрат из различных натуральных чисел с таким же центральным элементом:

1421 1466 1457 1426 1471 1462 1425 1470 1461
1428 1473 1464 1424 1469 1460 1420 1465 1456
1423 1468 1459 1422 1467 1458 1427 1472 1463
1484 1448 1412 1489 1453 1417 1488 1452 1416
1491 1455 1419 1487 1451 1415 1483 1447 1411
1486 1450 1414 1485 1449 1413 1490 1454 1418
1439 1430 1475 1444 1435 1480 1443 1434 1479
1446 1437 1482 1442 1433 1478 1438 1429 1474
1441 1432 1477 1440 1431 1476 1445 1436 1481

$K=2902, S=13059$

Это я взяла классический идеальный квадрат и увеличила в нём все элементы на 1410.
Интересно: «правильность» этого квадрата можно нарушить с помощью следующего преобразования «плюс-минус»:

1421 1466+z 1457-z 1426 1471 1462 1425 1470 1461
1428-z 1473 1464 1424+z 1469 1460 1420 1465 1456
1423+z 1468 1459 1422-z 1467 1458 1427 1472 1463
1484 1448-z 1412+z 1489 1453 1417 1488 1452 1416
1491 1455 1419 1487 1451 1415 1483 1447 1411
1486 1450 1414 1485 1449 1413 1490-z 1454+z 1418
1439 1430 1475 1444 1435 1480+z 1443 1434 1479-z
1446 1437 1482 1442 1433 1478-z 1438 1429 1474+z
1441 1432 1477 1440 1431 1476 1445+z 1436-z 1481

где z – любое целое число.
Положив, например, $z=961$, получим такой идеальный квадрат:

1421 2427 496 1426 1471 1462 1425 1470 1461
467 1473 1464 2385 1469 1460 1420 1465 1456
2384 1468 1459 461 1467 1458 1427 1472 1463
1484 487 2373 1489 1453 1417 1488 1452 1416
1491 1455 1419 1487 1451 1415 1483 1447 1411
1486 1450 1414 1485 1449 1413 529 2415 1418
1439 1430 1475 1444 1435 2441 1443 1434 518
1446 1437 1482 1442 1433 517 1438 1429 2435
1441 1432 1477 1440 1431 1476 2406 475 1481

$K=2902, S=13059$

Магическая константа при таком преобразовании не изменяется; сохраняется и ассоциативность, и пандиагональность квадрата.

[Nataly-Mak]

Это приближение уже намного лучше:

4027 1429 919 3727 1441 2119 3607 1039 709
223 3109 1987 1933 3499 907 853 3889 2617
1759 1861 3703 349 1459 3583 1549 1471 3283
2089 2533 1753 1789 2545 2953 1669 2143 1543
2167 1723 1429 3877 2113 349 2797 2503 2059
2683 2083 2557 1273 1681 2437 2473 1693 2137
943 2755 2677 643 2767 3877 523 2365 2467
1609 337 3373 3319 727 2293 2239 1117 4003
3517 3187 619 2107 2785 499 3307 2797 199

$K=4226, S=19017$

Все числа в нужном диапазоне и положительные, структуру квадрата выправила. Правда, не простых чисел пока многовато и повторения имеются.
По этому приближению можно уже и шаблон сделать, например, из вычетов по модулю 4:

3  1  3  3  1  3  3  3  1 
3  1  3  1  3  3  1  1  1 
3  1  3  1  3  3  1  3  3 
1  1  1  1  1  1  1  3  3 
3  3  1  1  1  1  1  3  3 
3  3  1  1  1  1  1  1  1 
3  3  1  3  3  1  3  1  3 
1  1  1  3  3  1  3  1  3 
1  3  3  3  1  3  3  1  3 

По шаблону перебор будет выполняться быстрее.

[Nataly-Mak]

Поработала со своей формулой для идеального квадрата 9-го порядка, содержащей 12 свободных переменных.
Есть сильное подозрение, что это слишком специальные идеальные квадраты с очень жёсткими дополнительными условиями, и потому найти подобный квадрат из различных простых чисел крайне сложно.

Покажу один образец идеального квадрата 9-го порядка из различных натуральных чисел.

(Образцом я называю квадрат подобный искомому квадрату, то есть имеющий такую же магическую константу и обладающий всеми свойствами искомого квадрата).

Образец построен из чисел арифметической прогрессии $33+52n, n=0,1,2,...,80$ на основе следующего классического идеального квадрата:

11 56 47 16 61 52 15 60 51
18 63 54 14 59 50 10 55 46
13 58 49 12 57 48 17 62 53
74 38 2 79 43 7 78 42 6
81 45 9 77 41 5 73 37 1
76 40 4 75 39 3 80 44 8
29 20 65 34 25 70 33 24 69
36 27 72 32 23 68 28 19 64
31 22 67 30 21 66 35 26 71

$K=82, S=369$

Вот этот образец:

553 2893 2425 813 3153 2685 761 3101 2633
917 3257 2789 709 3049 2581 501 2841 2373
657 2997 2529 605 2945 2477 865 3205 2737
3829 1957 85 4089 2217 345 4037 2165 293
4193 2321 449 3985 2113 241 3777 1905 33
3933 2061 189 3881 2009 137 4141 2269 397
1489 1021 3361 1749 1281 3621 1697 1229 3569
1853 1385 3725 1645 1177 3517 1437 969 3309
1593 1125 3465 1541 1073 3413 1801 1333 3673

$K=4226, S=19017$

Замечательное решение! Одно плохо – оно составлено не из простых (различных) чисел, а из произвольных (различных) натуральных чисел.

Теперь проверяю это решение по формуле с 12 свободными переменными.
Задаю значения константы ассоциативности и свободных элементов квадрата:

K=4226:X(12)=2789:X(13)=709:X(38)=2321:X(8)=3101:X(36)=293:X(35)=2165:X(34)=4037
X(19)=657:X(31)=4089:X(30)=85:X(3)=2425:X(28)=3829

Выполняю вычисления зависимых элементов квадрата по формуле; решение получается в точности такое же:

553  2893  2425  813  3153  2685  761  3101  2633 
917  3257  2789  709  3049  2581  501  2841  2373 
657  2997  2529  605  2945  2477  865  3205  2737 
3829  1957  85  4089  2217  345  4037  2165  293 
4193  2321  449  3985  2113  241  3777  1905  33 
3933  2061  189  3881  2009  137  4141  2269  397 
1489  1021  3361  1749  1281  3621  1697  1229  3569 
1853  1385  3725  1645  1177  3517  1437  969  3309 
1593  1125  3465  1541  1073  3413  1801  1333  3673 

$K=4226, S=19017$

Таким образом, данная формула работает только для очень узкой подгруппы идеальных квадратов, удовлетворяющих тем условиям, которые были заложены при получении формулы.

Найти квадрат из этой подгруппы, составленный из различных простых чисел, попытаться можно, но:
а) это не так просто сделать;
б) если такой квадрат и найдётся, он будет иметь очень большую магическую константу.
По этой причине данный метод не годится для задачи минимизации решения из различных простых чисел.

-- Чт фев 19, 2015 06:06:22 --

А между делом программа нашла седьмой совершенный квадрат 6-го порядка:

7699  18061  3709  9871  15889  5881 
13997  983  17987  9173  5807  13163 
7459  18301  3469  10111  15649  6121 
10499  4481  14489  12671  2309  16661 
11197  14563  7207  6373  19387  2383 
10259  4721  14249  12911  2069  16901 

$S= 61110$

Последовательность магических констант совершенных квадратов 6-го порядка из различных простых чисел теперь состоит из 7 членов:

29790, 37530, 46002, 46050, 47502, 52290, 61110

Ну и, наверное, хватит, 7 – хорошее число
Никак не могу заставить себя написать статью в OEIS каждый день собираюсь...

[Nataly-Mak]

Посмотрим теперь, что мы имеем для идеальных квадратов 10-го порядка.

Неизвестно ни одного решения из различных простых чисел
Из произвольных натуральных чисел такой квадрат построить довольно просто.
У меня в арсенале пока два метода.
1. Построить ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка, удовлетворяющий дополнительным условиям, и превратить его в идеальный квдарат с помощью известного матричного преобразования.
Я получила формулу для построения таких ассоциативных квдаратов Стенли 10-го порядка, но пока решение из простых чисел мне найти не удалось.

2. Построение по общей формуле идеального квадрата 10-го порядка.
Формулу скопировала в архиве svb:

(Оффтоп)

A[0,0]=+p2
A[0,1]=+p3
A[0,2]=+p4
A[0,3]=+p5
A[0,4]=+p6
A[0,5]=+p7
A[0,6]=+p8
A[0,7]=+p9
A[0,8]=+p10
A[0,9]=+10S/10-p2-p3-p4-p5-p6-p7-p8-p9-p10
A[1,0]=+p11
A[1,1]=+p12
A[1,2]=+p13
A[1,3]=+p14
A[1,4]=+p15
A[1,5]=+p16
A[1,6]=+p17
A[1,7]=+p18
A[1,8]=+p19
A[1,9]=+10S/10-p11-p12-p13-p14-p15-p16-p17-p18-p19
A[2,0]=+p20
A[2,1]=+p21
A[2,2]=+p22
A[2,3]=+p23
A[2,4]=+p24
A[2,5]=+p25
A[2,6]=+p26
A[2,7]=+p27
A[2,8]=+p28
A[2,9]=+10S/10-p20-p21-p22-p23-p24-p25-p26-p27-p28
A[3,0]=+p29
A[3,1]=+p30
A[3,2]=+p31
A[3,3]=+p32
A[3,4]=+29S/10+p1-2p2-4p3-4p4-4p5-2p6+2p8+2p9+2p10-2p11-3p12-4p13-3p14-2p15+p17+2p18+p19-p20-2p21-2p22-2p23-p24+p26+p27+p28-p29-p30-p31-p32
A[3,5]=+31S/10-p1-2p2-3p3-4p4-3p5-2p6+p8+2p9+p10-2p11-3p12-3p13-3p14-p15-p16+p17+p18+p19-p20-2p21-2p22-p23-p24+p27+p28-p29-p30-p31-p32
A[3,6]=-12S/10+2p1+2p2+2p3+3p4+2p5+2p6-p9+p12+p13+2p14-2p17-p18-p19+p22+p23+p24-p25-p26-p27+p32
A[3,7]=-8S/10-2p1+2p3+2p4+2p5-2p8-2p9-2p10+2p11+2p12+3p13+2p14+2p15-p18+p21+p22+p23-p26-p27-p28+p31
A[3,8]=-22S/10+2p1+2p2+2p3+3p4+2p5+2p6-p9+2p12+p13+p14-p17-p18-2p19+2p20+2p21+2p22+p23+p24+p25+p26+p30
A[3,9]=-8S/10-2p1+p3+p5-p8-p10+2p11+p12+2p13+p14+p15+p16+p17+p19+p21-p28+p29
A[4,0]=+25S/10-2p2-2p3-2p4-2p5-p6-2p11-2p12-2p13-p14-2p20-2p21-p22-2p29-p30
A[4,1]=+3S/10+2p1-2p3-p4-p5+2p8+p9+2p10-2p11-2p12-2p13-p14-p15+p18-p21+p24+p25+p26+p27+2p28-p29-p30-p31
A[4,2]=+17S/10-2p1-2p2-2p3-3p4-2p5-2p6+2p9-p12-p13-p14+2p17+2p18+2p19-p20-p21-2p22-p23-p24+p27-p30-p31-p32
A[4,3]=-16S/10+p1+2p2+3p3+3p4+2p5+2p6-p9+p11+2p12+2p13+p14-p17-p18-p19+p20+p21+p22-p25-p27-p28+p29+p30
A[4,4]=-33S/10-2p1+3p2+6p3+6p4+6p5+2p6-4p8-4p9-4p10+4p11+5p12+6p13+4p14+2p15-2p17-4p18-2p19+2p20+4p21+3p22+2p23-2p26-2p27-2p28+2p29+2p30+2p31+p32
A[4,5]=-35S/10+3p2+5p3+6p4+5p5+3p6-p7-3p8-4p9-3p10+4p11+5p12+5p13+4p14+2p15-2p17-3p18-2p19+2p20+4p21+3p22+p23+p24-p25-p26-2p27-2p28+2p29+2p30+2p31+p32
A[4,6]=-4S/10-p1+p3+p5-p8+p11+p12+p13+p20+p21-p24-p28+p29+p30
A[4,7]=+25S/10-2p2-4p3-4p4-4p5-2p6+2p8+3p9+2p10-2p11-3p12-3p13-3p14-2p15+2p17+2p18+2p19-p20-2p21-2p22-2p23-p24+p26+p27+p28-p30-p31-p32
A[4,8]=+25S/10-2p2-3p3-4p4-3p5-2p6+2p8+2p9+p10-2p11-3p12-3p13-2p14-p15+p17+2p18+p19-2p20-2p21-2p22-p23+p27+p28-p29-p30-p31
A[4,9]=+3S/10+2p1-2p3-p4-2p5+p7+2p8+p9+2p10-2p11-2p12-3p13-p14+p18-2p21+p23+p24+p25+p26+p27+2p28-2p29-p30
A[5,0]=-S/10-2p1+2p3+p4+2p5-p7-2p8-p9-2p10+2p11+2p12+3p13+p14-p18+2p21-p23-p24-p25-p26-p27-2p28+2p29+p30
A[5,1]=-23S/10+2p2+3p3+4p4+3p5+2p6-2p8-2p9-p10+2p11+3p12+3p13+2p14+p15-p17-2p18-p19+2p20+2p21+2p22+p23-p27-p28+p29+p30+p31
A[5,2]=-23S/10+2p2+4p3+4p4+4p5+2p6-2p8-3p9-2p10+2p11+3p12+3p13+3p14+2p15-2p17-2p18-2p19+p20+2p21+2p22+2p23+p24-p26-p27-p28+p30+p31+p32
A[5,3]=+6S/10+p1-p3-p5+p8-p11-p12-p13-p20-p21+p24+p28-p29-p30
A[5,4]=+37S/10-3p2-5p3-6p4-5p5-3p6+p7+3p8+4p9+3p10-4p11-5p12-5p13-4p14-2p15+2p17+3p18+2p19-2p20-4p21-3p22-p23-p24+p25+p26+2p27+2p28-2p29-2p30-2p31-p32
A[5,5]=+35S/10+2p1-3p2-6p3-6p4-6p5-2p6+4p8+4p9+4p10-4p11-5p12-6p13-4p14-2p15+2p17+4p18+2p19-2p20-4p21-3p22-2p23+2p26+2p27+2p28-2p29-2p30-2p31-p32
A[5,6]=+18S/10-p1-2p2-3p3-3p4-2p5-2p6+p9-p11-2p12-2p13-p14+p17+p18+p19-p20-p21-p22+p25+p27+p28-p29-p30
A[5,7]=-15S/10+2p1+2p2+2p3+3p4+2p5+2p6-2p9+p12+p13+p14-2p17-2p18-2p19+p20+p21+2p22+p23+p24-p27+p30+p31+p32
A[5,8]=-S/10-2p1+2p3+p4+p5-2p8-p9-2p10+2p11+2p12+2p13+p14+p15-p18+p21-p24-p25-p26-p27-2p28+p29+p30+p31
A[5,9]=-23S/10+2p2+2p3+2p4+2p5+p6+2p11+2p12+2p13+p14+2p20+2p21+p22+2p29+p30
A[6,0]=+10S/10+2p1-p3-p5+p8+p10-2p11-p12-2p13-p14-p15-p16-p17-p19-p21+p28-p29
A[6,1]=+24S/10-2p1-2p2-2p3-3p4-2p5-2p6+p9-2p12-p13-p14+p17+p18+2p19-2p20-2p21-2p22-p23-p24-p25-p26-p30
A[6,2]=+10S/10+2p1-2p3-2p4-2p5+2p8+2p9+2p10-2p11-2p12-3p13-2p14-2p15+p18-p21-p22-p23+p26+p27+p28-p31
A[6,3]=+14S/10-2p1-2p2-2p3-3p4-2p5-2p6+p9-p12-p13-2p14+2p17+p18+p19-p22-p23-p24+p25+p26+p27-p32
A[6,4]=-29S/10+p1+2p2+3p3+4p4+3p5+2p6-p8-2p9-p10+2p11+3p12+3p13+3p14+p15+p16-p17-p18-p19+p20+2p21+2p22+p23+p24-p27-p28+p29+p30+p31+p32
A[6,5]=-27S/10-p1+2p2+4p3+4p4+4p5+2p6-2p8-2p9-2p10+2p11+3p12+4p13+3p14+2p15-p17-2p18-p19+p20+2p21+2p22+2p23+p24-p26-p27-p28+p29+p30+p31+p32
A[6,6]=+2S/10-p32
A[6,7]=+2S/10-p31
A[6,8]=+2S/10-p30
A[6,9]=+2S/10-p29
A[7,0]=-8S/10+p20+p21+p22+p23+p24+p25+p26+p27+p28
A[7,1]=+2S/10-p28
A[7,2]=+2S/10-p27
A[7,3]=+2S/10-p26
A[7,4]=+2S/10-p25
A[7,5]=+2S/10-p24
A[7,6]=+2S/10-p23
A[7,7]=+2S/10-p22
A[7,8]=+2S/10-p21
A[7,9]=+2S/10-p20
A[8,0]=-8S/10+p11+p12+p13+p14+p15+p16+p17+p18+p19
A[8,1]=+2S/10-p19
A[8,2]=+2S/10-p18
A[8,3]=+2S/10-p17
A[8,4]=+2S/10-p16
A[8,5]=+2S/10-p15
A[8,6]=+2S/10-p14
A[8,7]=+2S/10-p13
A[8,8]=+2S/10-p12
A[8,9]=+2S/10-p11
A[9,0]=-8S/10+p2+p3+p4+p5+p6+p7+p8+p9+p10
A[9,1]=+2S/10-p10
A[9,2]=+2S/10-p9
A[9,3]=+2S/10-p8
A[9,4]=+2S/10-p7
A[9,5]=+2S/10-p6
A[9,6]=+2S/10-p5
A[9,7]=+2S/10-p4
A[9,8]=+2S/10-p3
A[9,9]=+2S/10-p2

Имеем 32 свободные переменные (из 50) при заданной магической константе квадрата.
Реально ли найти решение по этой формуле Перебор очень большой.

Знаю ещё один метод (он описан в моей статье); для него требуется 13 арифметических прогрессий длины 13 с одинаковой разностью, первые члены которых составляют арифметическую прогрессию (в общем случае, конечно, с другой разностью; если взять ту же самую разность, то числа будут повторяться).
Думаю, что найти такие прогрессии из простых чисел очень сложно. Из произвольных натуральных чисел легко составить нужные прогрессии и получить идеальный квадрат 10-го порядка.

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #980081 писал(а):

Имеем 32 свободные переменные (из 50) при заданной магической константе квадрата.
Реально ли найти решение по этой формуле Перебор очень большой.

Ничто не мешает часть свободных переменных задавать заранее, а перебор производить по оставшимся переменным. Конечно, пока открыт вопрос, как это делать.

Я добавил в архив еще две программы получения формул - это для справки.

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #980170 писал(а):

Ничто не мешает часть свободных переменных задавать заранее, а перебор производить по оставшимся переменным. Конечно, пока открыт вопрос, как это делать.

Ну, тут есть много вариантов.
Когда я строила магические кубы, там свободных переменных было оч-ч-ч-ч-ень много.
И я применяла, например, такой способ, как случайная генерация двух (или даже трёх) слоёв куба, а дальше - перебор по оставшимся свободным переменным.
Метод работает.
Посмотрите на вашу формулу для идеального квадрата 10-го порядка. В ней запросто можно задавать, скажем, первые две строки квадрата случайной генерацией (это сразу 18 свободных переменных), а потом перебор оставшихся свободных переменных.
Этот способ уже опробовала раньше на пандиагональных квадратах 8-го порядка. Но с квадратами метод работает хуже, чем с кубами.

Цитата:

Я добавил в архив еще две программы получения формул - это для справки.

Каких именно формул? Для каких квадратов?

[svb]

Nataly-Mak в сообщении #980174 писал(а):

Каких именно формул? Для каких квадратов?

Раньше я давал ссылку на архив. Для четных порядков получаемые формулы идеальных квадратов мне не очень нравились. Сейчас немного изменил (добавил программы в архив). То, что вариантов получения формул много, вызывает естественный вопрос: какой вариант лучший? Сейчас у меня нет ответа на этот вопрос .

[Nataly-Mak]

svb в сообщении #980187 писал(а):

Раньше я давал ссылку на архив. Для четных порядков получаемые формулы идеальных квадратов мне не очень нравились. Сейчас немного изменил (добавил программы в архив).

Спасибо за информацию.

Цитата:

То, что вариантов получения формул много, вызывает естественный вопрос: какой вариант лучший? Сейчас у меня нет ответа на этот вопрос .

К сожалению, тему покинул maxal (надеюсь, что временно).
Он мог бы помочь нам в исследовании этого вопроса.
Например, формула для идеального квадрата 6-го порядка у него точно есть (он ведь очень давно нашёл минимальный идеальный квадрат 6-го порядка из различных простых чисел).
Было бы интересно посмотреть на его формулу, сравнить её с вашей и с моей.

Для следующих порядков тоже, возможно, есть у него общие формулы.

[Nataly-Mak]

Построила интересный образец идеального квадрата 10-го порядка из различных натуральных чисел, проверив заодно сразу два метода: построение из ассоциативного квадрата Стенли, удовлетворяющего дополнительным условиям, и построение с помощью 13 арифметических прогрессий.
Эти два метода связаны между собой.
Покажу подробно процесс построения.

Из чисел арифметической прогрессии $101+34n, n=0,1,…,168$ составляем ассоциативный квадрат Стенли 13х13:

101 135 169 203 237 271 305 339 373 407 441 475 509
543 577 611 645 679 713 747 781 815 849 883 917 951
985 1019 1053 1087 1121 1155 1189 1223 1257 1291 1325 1359 1393
1427 1461 1495 1529 1563 1597 1631 1665 1699 1733 1767 1801 1835
1869 1903 1937 1971 2005 2039 2073 2107 2141 2175 2209 2243 2277
2311 2345 2379 2413 2447 2481 2515 2549 2583 2617 2651 2685 2719
2753 2787 2821 2855 2889 2923 2957 2991 3025 3059 3093 3127 3161
3195 3229 3263 3297 3331 3365 3399 3433 3467 3501 3535 3569 3603
3637 3671 3705 3739 3773 3807 3841 3875 3909 3943 3977 4011 4045
4079 4113 4147 4181 4215 4249 4283 4317 4351 4385 4419 4453 4487
4521 4555 4589 4623 4657 4691 4725 4759 4793 4827 4861 4895 4929
4963 4997 5031 5065 5099 5133 5167 5201 5235 5269 5303 5337 5371
5405 5439 5473 5507 5541 5575 5609 5643 5677 5711 5745 5779 5813

$K=5914$

Выбрасываем из этого квадрата 3 центральные строки и 3 центральных столбца и получаем ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка:

101 135 169 203 237 373 407 441 475 509
543 577 611 645 679 815 849 883 917 951
985 1019 1053 1087 1121 1257 1291 1325 1359 1393
1427 1461 1495 1529 1563 1699 1733 1767 1801 1835
1869 1903 1937 1971 2005 2141 2175 2209 2243 2277
3637 3671 3705 3739 3773 3909 3943 3977 4011 4045
4079 4113 4147 4181 4215 4351 4385 4419 4453 4487
4521 4555 4589 4623 4657 4793 4827 4861 4895 4929
4963 4997 5031 5065 5099 5235 5269 5303 5337 5371
5405 5439 5473 5507 5541 5677 5711 5745 5779 5813

$K=5914, S=29570$

Теперь пронумеруем элементы этого квадрата в естественном порядке и заполним матрицу 10х10 в соответствии с этим эталоном:

1 168 10 165 3 159 9 166 12 157
156 15 147 18 154 24 148 17 145 26
118 51 127 48 120 42 126 49 129 40
117 54 108 57 115 63 109 56 106 65
27 142 36 139 29 133 35 140 38 131
39 132 30 135 37 141 31 134 28 143
105 64 114 61 107 55 113 62 116 53
130 41 121 44 128 50 122 43 119 52
144 25 153 22 146 16 152 23 155 14
13 158 4 161 11 167 5 160 2 169

(построение эталона описано в статье)

Получим следующий идеальный квадрат 10-го порядка:

101 5779 407 5677 169 5473 373 5711 475 5405
5371 577 5065 679 5303 883 5099 645 4997 951
4079 1801 4385 1699 4147 1495 4351 1733 4453 1427
4045 1903 3739 2005 3977 2209 3773 1971 3671 2277
985 4895 1291 4793 1053 4589 1257 4827 1359 4521
1393 4555 1087 4657 1325 4861 1121 4623 1019 4929
3637 2243 3943 2141 3705 1937 3909 2175 4011 1869
4487 1461 4181 1563 4419 1767 4215 1529 4113 1835
4963 917 5269 815 5031 611 5235 849 5337 543
509 5439 203 5541 441 5745 237 5507 135 5813

$K=5914, S=29570$

С помощью преобразования трёх квадрантов этот идеальный квадрат превращается в совершенный квадрат:

101 5779 407 5677 169 5405 475 5711 373 5473
5371 577 5065 679 5303 951 4997 645 5099 883
4079 1801 4385 1699 4147 1427 4453 1733 4351 1495
4045 1903 3739 2005 3977 2277 3671 1971 3773 2209
985 4895 1291 4793 1053 4521 1359 4827 1257 4589
509 5439 203 5541 441 5813 135 5507 237 5745
4963 917 5269 815 5031 543 5337 849 5235 611
4487 1461 4181 1563 4419 1835 4113 1529 4215 1767
3637 2243 3943 2141 3705 1869 4011 2175 3909 1937
1393 4555 1087 4657 1325 4929 1019 4623 1121 4861

$S=29570$

Имеем полный комплект из 3-х квадратов.
А теперь проверяю полученный ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка по формуле для ассоциативных квадратов Стенли 10-го порядка, удовлетворяющих дополнительным условиям.

Беру из данного ассоциативного квадрата значения константы ассоциативности и свободных элементов квадрата:

K=5914:X(13)=611:X(15)=679:X(21)=985:X(22)=1019:X(23)=1053:X(30)=1393:X(38)=1767:X(42)=1903

Вычисляю значения зависимых элементов квадрата по формуле:

101  135  169  203  237  373  407  441  475  509 
543  577  611  645  679  815  849  883  917  951 
985  1019  1053  1087  1121  1257  1291  1325  1359  1393 
1427  1461  1495  1529  1563  1699  1733  1767  1801  1835 
1869  1903  1937  1971  2005  2141  2175  2209  2243  2277 
3637  3671  3705  3739  3773  3909  3943  3977  4011  4045 
4079  4113  4147  4181  4215  4351  4385  4419  4453  4487 
4521  4555  4589  4623  4657  4793  4827  4861  4895  4929 
4963  4997  5031  5065  5099  5235  5269  5303  5337  5371 
5405  5439  5473  5507  5541  5677  5711  5745  5779  5813 

$K=5914, S=29570$

Решение получилось точно такое же, как исходный квадрат.

А теперь предлагается выполнить описанную процедуру для различных простых чисел
Кто смелый?

[Nataly-Mak]

Для полноты картины
Именно этот эталон, полученный мной методом обобщённых латинских квадратов:

1 168 10 165 3 159 9 166 12 157
156 15 147 18 154 24 148 17 145 26
118 51 127 48 120 42 126 49 129 40
117 54 108 57 115 63 109 56 106 65
27 142 36 139 29 133 35 140 38 131
39 132 30 135 37 141 31 134 28 143
105 64 114 61 107 55 113 62 116 53
130 41 121 44 128 50 122 43 119 52
144 25 153 22 146 16 152 23 155 14
13 158 4 161 11 167 5 160 2 169

и даёт матричное преобразование, превращающее ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка, удовлетворяющий дополнительным условиям, в идеальный магический квадрат.

Выше, кажется, уже показывала матричное преобразование, превращающее ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка, удовлетворяющий тем же самым дополнительным условиям, в совершенный квадрат.
Понятно, что эти два преобразования переходят друг в друга с помощью третьего преобразования - 3-х квадрантов.

Теперь задача в том, чтобы построить ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка, удовлетворяющий дополнительным условиям, из различных простых чисел.
Формула для такого квадрата мной получена. В формуле всего 8 свободных переменных из 50 при заданной константе ассоциативности.
Для сравнения: в общей формуле идеального квадрата 10-го порядка 32 свободные переменные из 50 (при заданной константе ассоциаивности).
Есть разница в количестве свободных переменных!

Пока не найдено ни одного ассоциативного квадрата Стенли 10-го порядка из различных простых чисел.
Задачей занимается 12d3. Результата ещё нет.
Но 12d3 ищет решение по своему алгоритму. Я предложила ему попробовать мою формулу.

[Nataly-Mak]

Моя попытка построить ассоциативный квадрат Стенли 10-го порядка, удовлетворящий дополнительным условиям, из различных простых чисел по формуле:

0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
859  4789  3313  1153  661  4201  3709  1549  73  4003 
1307  5237  3761  1601  1109  4649  4157  1997  521  4451 
1489  5419  3943  1783  1291  4831  4339  2179  0  0 
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 
0  0  8741  6581  6089  9629  9137  6977  5501  9431 
6469  10399  8923  6763  6271  9811  9319  7159  5683  9613 
6917  10847  9371  7211  6719  10259  9767  7607  6131  10061 
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0 

$K=10920, S=54600$

Это составляется быстро. А дальше программа уходит в глубокую задумчивость.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #980396 писал(а):

Теперь пронумеруем элементы этого квадрата в естественном порядке и заполним матрицу 10х10 в соответствии с этим эталоном:...

Здесь неточность: пронумеровать в естественном порядке надо, конечно, элементы ассоциативного квадрата Стенли 13х13, то есть сделать это до выбрасывания 3-х центральных строк и 3-х центральных столбцов.

-- Пт фев 20, 2015 14:33:28 --

Применяю к показанному выше полуфабрикату ассоциативного квадрата Стенли 10-го порядка, удовлетворяющего дополнительным условиям, матричное преобразование и получаю такой полуфабрикат идеального квадрата 10-го порядка из различных простых чисел:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10061 4789 7211 661 7607 1549 6719 1153 10847 4003
0 0 9137 4831 8741 3943 9629 4339 5501 1489
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1307 5683 4157 9811 3761 8923 4649 9319 521 6469
4451 10399 1601 6271 1997 7159 1109 6763 5237 9613
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9431 5419 6581 1291 6977 2179 6089 1783 0 0
6917 73 9767 4201 9371 3313 10259 3709 6131 859
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

$K=10920, S=54600$

Вот вам и "заготовка". Посмотреть применительно к выбранной для построения общей формуле - какие свободные и зависимые элементы можно оставить в этом решении и что дальше достроить перебором оставшихся свободных элементов.