Есть ли пересечения графиков функций?

[nnosipov]

Don-Don в сообщении #978071 писал(а):

$f(x)=bx-\log_bx$, тогда $f'(x)=0$ при $x=\dfrac{b}{\ln b}$

$f\left(\dfrac{b}{\ln b}\right)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Но теперь не очевидно -- как узнать знак этой штуки? $h(b)=\dfrac{b^2}{\ln b}-2+\log_b(\ln b)$

Понимаю, что нужно показать, что $h(b)>0$, тогда все что нужно доказано.

При $b\ge e$ все очевидно теперь, но при $1<b<e$ все еще не ясно -- как оценивать.

Так не надо делать. Запишите исходное уравнение в виде

$$ b\ln{b}=\frac{\ln{x}}{x}, $$

затем обозначьте $c=b\ln{b}$ и выясните, при каких $c$ будут корни (и сколько именно их будет).

[ИСН]

Don-Don в сообщении #978071 писал(а):

Аналитически имел ввиду, что неграфический способ решения, в данном контексте.

Решения чего? Так бывает: отогнал муху от варенья, погнался за ней, выскочил в окно, залез на берёзу, мимо шли санитары... Вспомните, что Вы изначально хотели сделать? Это важно. Что? Не решить, нет. Решить не надо и нельзя. Вы хотели ответить на какой-то другой вопрос. Возможно, на тот, который вынесен в заголовок.

[Don-Don]

nnosipov в сообщении #978133 писал(а):

$c=b\ln{b}$[/math] и выясните, при каких $c$ будут корни (и сколько именно их будет).

$c(x)=\frac{ln x}x$

$c'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$

$x=e$ -- точка максимума.

$c(e)=\dfrac{1}{e}$ -- наибольшее значение функции. Значит при $c=1/e$ будет один корень. При $0<c<e^{-1}$ будет два корня, так как $c=0$ горизонтальная асимпотота. При $c\le 0$ будет 1 корень. При $c>\frac{1}{e}$ не будет корней.

Спасибо. Но а как дальше? Нужно перейти как-то к $b$, но там произведение преобразовать не получается.

[nnosipov]

Don-Don в сообщении #978289 писал(а):

Но а как дальше? Нужно перейти как-то к $b$, но там произведение преобразовать не получается.

А никак. Ответ в терминах $b$ выражается только в специальных функциях (функция Ламберта в данном случае). Ничего, бывает. Решайте другие задачи.

[Don-Don]

nnosipov в сообщении #978292 писал(а):

Don-Don в сообщении #978289 писал(а):

Но а как дальше? Нужно перейти как-то к $b$, но там произведение преобразовать не получается.

А никак. Ответ в терминах $b$ выражается только в специальных функциях (функция Ламберта в данном случае). Ничего, бывает. Решайте другие задачи.

То есть пересечений не будет, но обосновать это крайне сложно? Верно?

[ИСН]

Скажите, пожалуйста, чему примерно будет численно равно $f(x)=bx-\log_bx$ при $b=\sqrt[4]2,\;x=2$.

[Don-Don]

при $b=1,1$ есть пересечения, но при $b=2$ нет пересечений. Но начиная с какого $b$ будут пересечения. Когда прямая будет касательной, по идее. Но через касательную не получилось найти...

[nnosipov]

Don-Don в сообщении #978294 писал(а):

То есть пересечений не будет, но обосновать это крайне сложно? Верно?

Как же не будет? Вы же только что сами написали, сколько их будет и когда. Только в терминах параметра $c$ (который, кстати, монотонно зависит от исходного параметра $b$). Трудности (не принципиальные) возникнут только при переводе ответа с одного языка на другой.

-- Сб фев 14, 2015 21:19:16 --

Don-Don в сообщении #978300 писал(а):

Но начиная с какого $b$ будут пересечения. Когда прямая будет касательной, по идее.

Правильно. Для отыскания этого критического значения $b$ надо решить уравнение (какое? составьте его). Но корень этого уравнения можно найти только приближённо или с помощью спецфункций. То есть "школьного" выражения для него не существует.

[Don-Don]

ИСН в сообщении #978297 писал(а):

Скажите, пожалуйста, чему примерно будет численно равно $f(x)=bx-\log_bx$ при $b=\sqrt[4]2,\;x=2$.

$y=-1,62$

-- 14.02.2015, 18:21 --

А, теперь все ясно, спасибо! $e\cdot b\ln{b}=1$. Вот такое уравнение. Верно?

[nnosipov]

Don-Don в сообщении #978303 писал(а):

Верно?

Да, верно. Его корень приближённо равен $1{,}32$.

[ИСН]

Don-Don в сообщении #978303 писал(а):

ИСН в сообщении #978297 писал(а):

Скажите, пожалуйста, чему примерно будет численно равно $f(x)=bx-\log_bx$ при $b=\sqrt[4]2,\;x=2$.

$y=-1,62$

Это я плавно подводил к мысли, что пересечений не "не будет". Но Вы это уже вспомнили и так. Ну ОК.

[Don-Don]

Спасибо большое, разобрался!

P.S. http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... +and+x%3D2