Высшая алгебра: задачи про биекцию

[leonardo_d]

Добрый день.
Подскажите, пожалуйста, как можно решить следующие задачи:
1) доказать, что композиция инъективных отображений есть инъективное отображение;
2) доказать, что композиция сюръективных отображений есть сюръективное отображение;
3) доказать, что для того, чтобы соответствие f между X и Y было биекцией, необходимо и достаточно, чтобы
$f^-^1\,\circ\,f = id_X$ и $f^-^1\,\circ\,f = id_Y.$

Первые две как-то интуитивно понятны, но сформулировать в виде четкого доказательства не получается. Последняя (3) как-то не особо и понятно. В смысле - не понятно как доказывать.

-------------------------------------------------------------------
Ну, если попробовать хоть что-то написать, то выглядит вот так.
Задача 1.
Пусть у нас два отображения f и g. Композиция стало быть $f\circ g$
Инъективное отображение, это когда разные элементы переходят в разные элементы. То есть для $a,b\in X:\,a\ne b$ следует, что $f(a)\ne f(b). Для второго отображения - тоже $g(a)\ne g(b).
1. Возьмем два элемента первого множества $a\ne b$. Результаты первого отображения обозначим $a'=f(a)$ и $b'=f(b)$. Так как отображение по условию - инъективное, то $a'\ne b'$
2. Теперь выполним второе отображение. Обозначим $a''=g(a')$ и $b''=g(b')$. Так как второе отображение тоже инъективное, а из пункта один $a'\ne b'$, то отсюда $a''\ne b''$.
3. Таким образом, композиция отображений$f\circ g$ переводит разные элементы a,b в разные элементы a'', b'', то есть является инъективным отображением.
Как-то так.
---------------------
Задача 2, в принципе аналогично.
---------------------
Задача 3.
Тождественное преобразование переводит элементы множества сами в себя. То есть выражения из условия выглядят так:
$f^-^1(f(x))=x$ ну и соответственно $f(f^-^1(y))=y$. Это если в условии при записи второй композиции перепутаны местами $f^-^1$ и $f$. Если нет - даже не знаю, как подступиться.

В итоге, максимум, что смог вытянуть, выглядит криво и как-то по-читерски.
1. Так как в условии дано существование обратного отображения $f^-^1$ к $f$, то отображение $f$ как минимум инъективно. Аналогично, из второго выражения следует, что отображение $f^-^1$ тоже инъективно. На этом мысль останавливается. Попробовать доказать, что два взаимно инъективных отображения - сюръективны у меня не получилось.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

leonardo_d в сообщении #976409 писал(а):

Это если в условии при записи второй композиции перепутаны местами $f^-^1$ и $f$.

Ясно, перепутаны, не может ведь одна композиция быть задана сразу на двух множествах (вообще говоря, не совпадающих). Кстати, у вас не указано, что есть $X$ и что есть $Y$. Видимо, считается, что $f: X \to Y$?

[Slow]

Вы точно правильно третью задачу знаписали? Если да, то биективность $f$ вполне естественно порождает $f^{-1}$ и, наоборот, если существует обратное, то $f$ обязано быть биективным.

[provincialka]

Slow в сообщении #977067 писал(а):

если существует обратное, то $f$ обязано быть биективным.

Может, под обратным подразумевается не обратное отображение, а обратное отношение (соответствие)? Он не обязано быть однозначным.

[leonardo_d]

Все верно, в третьей задаче действительно "соотношение", я перепутал. Вот дословный текст задачи.

Цитата:

Докажите, что для того, чтобы соответствие $f$ между элементами множеств $X$ и $Y$ было биекцией $X$ на $Y$, необходимо и достаточно, чтобы $f^-^1\circ f=id_X$ и $f^-^1\circ f=id_Y$

[Brukvalub]

Вот дословный правильный текст задачи.

Докажите, что для того, чтобы соответствие $f$ между элементами множеств $X$ и $Y$ было биекцией $X$ на $Y$, необходимо и достаточно, чтобы $f^-^1\circ f=id_X$ и $f\circ f^-^1=id_Y$

[provincialka]

leonardo_d
Думаю, вам надо показать свои усилия (на основе формулировки Brukvalub). А там и мы подтянемся.

[Kras]

Первую задачу можно легко решить, если начать с определений. Даны два отображения $f \subseteq X\times Y$ и $g \subseteq Y\times Z$. Композицией $f$ и $g$ называется такое отображение $(f \circ g) \subseteq X \times Z$, что $\forall x\in X, z\in Z:(x,z)\in (f\circ g) \iff \exists y \in Y : ((x,y)\in f) \wedge ((y,z)\in g)$. Композиция будет инъективной, если $\forall x_1,x_2 \in X, \forall z \in Z ((x_1,z),(x_2,z) \in (f \circ g) \Rightarrow x_1=x_2)$ - это то, что требуется доказать. Нам дано также, что
$\forall x_1,x_2 \in X, \forall y \in Y ((x_1,y),(x_2,y) \in f \Rightarrow x_1=x_2)$
$\forall y_1,y_2 \in Y, \forall z \in Z ((y_1,z),(y_2,z) \in g \Rightarrow y_1=y_2)$

Предположим, что $(x_1,z),(x_2,z) \in (f\circ g)$, тогда по определению
$\exists y_1 \in Y:((x_1,y_1)\in f)\wedge ((y_1,z)\in g)$
$\exists y_2 \in Y:((x_2,y_2)\in f)\wedge ((y_2,z)\in g)$
то есть
$\exists y_1,y_2 \in Y:((x_1,y_1)\in f)\wedge ((y_1,z)\in g)\wedge ((x_2,y_2)\in f)\wedge ((y_2,z)\in g)$
Тогда
$((y_1,z)\in g)\wedge ((y_2,z)\in g) \Rightarrow y_1=y_2$
$((x_1,y_1)\in g)\wedge ((x_2,y_2)\in g) \Rightarrow x_1=x_2$

Попробуйте так же доказать всё остальное.

[provincialka]

Kras
Не стоит, все же, писать решения, пока ТС не появился и не сделал что-то сам.

[Kras]

Ну кое-что он сделал, но это не самый лучший способ доказать первую теорему. Все остальные теоремы ТС может доказать сам. Я только не понимаю причём тут высшая алгебра. Разве это алгебра?

[Lia]

Kras
Замечание за решение простой учебной задачи.

[leonardo_d]

provincialka в сообщении #978269 писал(а):

leonardo_d
Думаю, вам надо показать свои усилия (на основе формулировки Brukvalub). А там и мы подтянемся.

Какой формулировки? Он же просто переписал условие с учетом исправления.
Все, что я смог, я уже написал выше. Новых данных никаких не было, поэтому особо ничего не поменялось.
------------------------------
Решение Kras если честно не понял. Попробую разобраться.

[provincialka]

leonardo_d
А вам в каком виде надо написать решение? Строго формально, символически (как у Kras) или по-простому, на словах, как доказывали вы сами? У него мне нравится аккуратная запись того, что "дано", то есть из какого множества в какое действуют отображения.

Кроме того, важная идея состоит в использовании определения композиции. Идеи того, что существует промежуточный элемент $y$. Теорему можно доказывать с конца: пусть $(f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2) = z$. То есть композиция переводит два элемента в один. Что из этого следует?