СТО. Вопрос по условию задачи.

[tech]

Здравствуйте.
Есть следующая задача:
Начало координат системы $K'$ движется со скоростью $\textbf{V} = (V_x, V_y)$ относительно системы $K$, а оси координат составляют со скоростью $\textbf{V}$ те же углы, что и оси системы $K$. Записать матрицу преобразования Лоренца от $K$ к $K'$ (и обратно).

Я не могу понять условие «оси координат (системы $K'$) составляют со скоростью $\textbf{V}$ те же углы, что и оси системы $K$», а точнее, я не могу понять, что такое вектор $\textbf{V}$ в системе координат $K'$.

Если мы находимся в $K$, тогда $\textbf{V}=\frac{d\textbf{x}}{dt}$, где $\textbf{x}$ - радиус-вектор начала координат системы $K'$. Но что если мы находимся в $K'$? Что тогда понимать под вектором $\textbf{V}$? Скорость движения начала координат системы $K$ относительно $K'$?

Помогите, пожалуйста, разобраться.

[warlock66613]

Похоже, что все исходные данные приведены (относятся к) системе $K$. Это в системе $K$ оси $K'$ составляют с $\mathbf V$ те же углы, что $\mathbf V$ с осями $K$.

[tech]

То есть выходит, что в системе $K'$ оси $x'$ и $y'$, вообще говоря, не ортогональны? Ладно, попробую завтра решить.
А пока хочу спросить вот что. В ЛЛ-2 написано:
"Два события, разделенные времениподобным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить одновременно. Следовательно, нельзя выбрать и никакой системы отсчета, где бы какое-нибудь из событий области $aOc$ происходило "до" события O". $aOc$ - "верхняя" половина светового конуса.
Первое утверждение понятно: $ds^2>0$ для события $O$ и события из $aOc$, и если они вдруг станут одновременными в некоторой ИСО, то $ds'^2=-dl^2 \le 0$ - противоречие с инвариантностью интервала.
Но почему из первого следует второе?

[Munin]

tech в сообщении #977955 писал(а):

Я не могу понять условие «оси координат (системы $K'$) составляют со скоростью $\textbf{V}$ те же углы, что и оси системы $K$», а точнее, я не могу понять, что такое вектор $\textbf{V}$ в системе координат $K'$.

Вектор скорости начала координат $K$ в системе $K'$ будет $-\mathbf{V}.$ Взяв от него минус, и можно получить "вектор $\mathbf{V}$ в системе $K'$".

-- 14.02.2015 00:12:35 --

tech в сообщении #977998 писал(а):

То есть выходит, что в системе $K'$ оси $x'$ и $y'$, вообще говоря, не ортогональны?

Нет, они ортогональны. Но они не параллельны соответствующим осям $x$ и $y$ системы $K.$ Пока скорость была вдоль оси $x,$ такой проблемы не было. А теперь, надо как-то указать, как эти оси расположены. И в этой задаче за основу взяли направление вектора скорости. (Хорошо, что дело не в трёхмерке, там бы и этого указания было недостаточно.)

tech в сообщении #977998 писал(а):

А пока хочу спросить вот что. В ЛЛ-2 написано:
"Два события, разделенные времениподобным интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить одновременно. Следовательно, нельзя выбрать и никакой системы отсчета, где бы какое-нибудь из событий области $aOc$ происходило "до" события O". $aOc$ - "верхняя" половина светового конуса.
Первое утверждение понятно: $ds^2>0$ для события $O$ и события из $aOc$, и если они вдруг станут одновременными в некоторой ИСО, то $ds'^2=-dl^2 \le 0$ - противоречие с инвариантностью интервала.
Но почему из первого следует второе?

Тут ЛЛ "срезает углы". Вспомните, что переход из одной системы отсчёта в другую систему отсчёта происходит плавно, непрерывно. Сначала скорость изменяется на одну бесконечно малую величину, потом на другую, и так далее, и в итоге принимает окончательное значение.

Теперь посмотрим на событие $A\in aOc.$ При малом изменении скорости оно останется тоже в $aOc.$ И значит, при любом конечном изменении, "складывающемся" из таких малых, - тоже останется в $aOc.$ А значит, оно всегда останется в области "после" $O.$ Теперь понятно?

[rustot]

tech в сообщении #977998 писал(а):

То есть выходит, что в системе $K'$ оси $x'$ и $y'$, вообще говоря, не ортогональны?

они не ортогональны в исо $K$. а в $K'$ как раз ортогональны. поэтому при движении одной исо относительно другой не вдоль осей нужно более подробно описать ориентацию осей, просто сказать что "они параллельны осям первой исо" уже нельзя

если вы кубику придаете скорость не вдоль одного из его ребер, то угол между ребрами будет уже не 90 градусов.

[Munin]

rustot в сообщении #978053 писал(а):

они не ортогональны в исо $K$.

Что неприятно, в ИСО $K$ их вообще нет (соответствующие 4-мерные прямые не лежат в пространственной плоскости).

[svv]

Munin в сообщении #978001 писал(а):

Хорошо, что дело не в трёхмерке, там бы и этого указания было недостаточно.

Можно всё-таки указать естественный способ построения системы $K'$, движущейся относительно $K$ со скоростью $\mathbf v$, дающий однозначный результат. Неплохо было бы его один раз описать, как-то назвать, и в дальнейшем использовать во многих задачах.

[Munin]

svv в сообщении #978066 писал(а):

Можно всё-таки указать естественный способ построения системы $K'$, движущейся относительно $K$ со скоростью $\mathbf v$, дающий однозначный результат.

Да.

Способ этот такой: возьмём вектор скорости $\mathbf{V}$ в системе $K,$ и спроецируем орты системы координат на плоскость, перпендикулярную этому вектору. Эта плоскость при бусте никак не искажается и не поворачивается, значит, её можно перенести в систему $K'.$ А там обратно восстановить орты по проекциям - это однозначная операция.

svv в сообщении #978066 писал(а):

Неплохо было бы его один раз описать, как-то назвать, и в дальнейшем использовать во многих задачах.

Хм-м-м, назвать... хорошо бы. Но должно быть такое название, которое народ подхватит. И хорошо бы его засветить в книге уровня ЛППТ, где-то.

-- 14.02.2015 01:38:04 --

"Нормальный буст", а?

[tech]

Munin в сообщении #978001 писал(а):

Теперь понятно?

На ум пришло что-то аналогичное: рассмотрим два события, одно из которых ($A$) в данной системе отсчета произошло раньше другого ($B$). Затем перейдем к системе отсчета, бесконечно медленно движущейся по сравнению с первоначальной: $A$ по-прежнему раньше $B$. Проделываем так много раз: в итоге $A$ раньше $B$ в любой ИСО. Результат противоречит СТО, а логика вроде та же, что и у вас, или нет?

Сейчас я буду писать (возможно) что-то непонятное по поводу вектора $\textbf{V}$, потому что сам с трудом понимаю, что именно меня в нём смущает. А смущает меня то, что этот вектор $\textbf{V}$ как бы стоит над этими двумя ИСО.
Наблюдатель из первой ИСО смотрит за движением начала координат второй, он знает соответствующую скорость $V$ и её направление $V\textbf{e}=\textbf{V}$. Наблюдатель из второй ИСО смотрит за движением начала координат первой, он измеряет скорость (тоже $V$ - это понятно) и знает её направление, но он-то сидит в своей ИСО.
В этой задаче как бы одно выделенное направление (по $\textbf{V}$), которое одинаково воспринимают и первый, и второй.
В общем, надеюсь, чей-нибудь комментарий поможет родить мне мысль.

[svv]

Munin
Да, это я и имел в виду.
Эквивалентное описание: если $\mathbf e_i$ и $\mathbf e'_i$ — базисные векторы обеих систем в пространстве Минковского, то мы требуем, чтобы штрихованный базис получался из нештрихованного поворотом в 2-плоскости $(\mathbf e_0, \mathbf e'_0)$.

[Munin]

tech в сообщении #978074 писал(а):

На ум пришло что-то аналогичное: рассмотрим два события, одно из которых ($A$) в данной системе отсчета произошло раньше другого ($B$). Затем перейдем к системе отсчета, бесконечно медленно движущейся по сравнению с первоначальной: $A$ по-прежнему раньше $B$. Проделываем так много раз: в итоге $A$ раньше $B$ в любой ИСО. Результат противоречит СТО, а логика вроде та же, что и у вас, или нет?

Нет. Штука в том, что $A$ и $B$ могут быть разделены разными интервалами:
1. Времениподобный или светоподобный. Тогда рассуждения верны, и результат соответствует СТО.
2. Пространственноподобный. Тогда неверно, что в новой СО $A$ по-прежнему раньше $B.$ С точки зрения события $A,$ событие $B$ "движется" по некоторой кривой во внешней области светового конуса, и не встречает никаких препятствий, переходя в нижнее полупространство. (Кстати, оно движется не просто во внешней области, а по конкретной поверхности: по однополостному гиперболоиду, заданному уравнением $s^2=\mathrm{const}$ - как в евклидовой геометрии точка двигалась бы по сфере постоянного радиуса.)

tech в сообщении #978074 писал(а):

Сейчас я буду писать (возможно) что-то непонятное по поводу вектора $\textbf{V}$, потому что сам с трудом понимаю, что именно меня в нём смущает. А смущает меня то, что этот вектор $\textbf{V}$ как бы стоит над этими двумя ИСО.

Ну, просто с точки зрения обеих ИСО, их относительная скорость имеет величину $V.$ Это следует из принципа относительности, кстати. А направление вектора можно выбрать противоположным, поворачивая оси пространственных координат нужным образом. Это не заведомо автоматически так получается, это последствие нашего свободного и сознательного выбора.

[svv]

Да, нормальный буст, естественный буст.

[Munin]

"Естественный буст" даже лучше. Natural boost.

[tech]

Со световым конусом я теперь разобрался, спасибо.

А вот это я не понял:

Munin в сообщении #978074 писал(а):

Способ этот такой: возьмём вектор скорости $\mathbf{V}$ в системе $K,$ и спроецируем орты системы координат на плоскость, перпендикулярную этому вектору. Эта плоскость при бусте никак не искажается и не поворачивается, значит, её можно перенести в систему $K'.$ А там обратно восстановить орты по проекциям - это однозначная операция.

Почему мы не можем так же взять вектор $-\textbf{V}$ в $K'$ (вектор скорости начала координат системы $K$ относительно системы $K'$) и как угодно относительно него расположить оси $x',y',z'$ (например, задать направляющие косинусы)?

[svv]

Это можно сделать, лишь отбросив условие

tech в сообщении #977955 писал(а):

оси координат (системы $K'$) составляют со скоростью $\textbf{V}$ те же углы, что и оси системы $K$

Так Вы окажетесь один на один с неопределенностью, с которой и боролись составители задачи с помощью этого условия.