2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Полнота пространства
Сообщение09.02.2015, 17:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Пусть $X$ - пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке $[0;1]$ и равных нулю в некоторой окрестности нуля(окрестность зависит от функции). Рассмотрим на $X$ норму
$$\|x\|_{X} = \max\limits_{n \in \mathbb{N}}|x(\frac{1}{n})| + \max\limits_{n \in \mathbb{N}}\left(n^{\alpha} \cdot \max\limits_{t \in [\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}]}\left(t|x'(t)|\right)\right), \\ \alpha \in \mathbb{R}.$$
Будет ли $X$ полным относительно этой нормы?

При $\alpha \geq -1$ известно, что $\|.\|_X$ сильнее $\|.\|_{\infty}.$ Но по норме $\|.\|_{\infty}.$ пространство $X$ не полное. Так что никаких выводов отсюда не получить. Явный контрпример что-то в голову не идет, также и с доказательством полноты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства
Сообщение09.02.2015, 17:47 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
demolishka в сообщении #975902 писал(а):
Явный контрпример что-то в голову не идет,

Ну как оно может быть полным, если элементы пополнения явно не обязаны быть финитными?

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства
Сообщение10.02.2015, 14:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вышло нечто такое:
Изображение
Значения в точках $\frac{1}{n}$ равны нулю, а между ними такие "горочки" с достаточно малым значением в вершине(значение зависит от номера горочки) - чтобы величина $n^{\alpha} \max \left( t |x'_n(t)-x'_m(t)|\right)$ убегала в ноль. Тогда последовательность, очевидно, фундаментальна. Но предельный элемент обязан обладать свойствами: нулевые значения в точках последовательности $\frac{1}{n}$ и положительная производная между соседними точками этой последовательности, а значит, в любой окрестности нуля у него будут положительные значения. Ну и не забыть "сгладить" последовательность в вершинах для непрерывной дифференцируемости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства
Сообщение10.02.2015, 15:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Жуть какая. Возьмите просто функцию (например, степенную), достаточно быстро стремящуюся к нулю в нуле. Отодвиньте её чуть вправо, занулив освободившуюся окрестность нуля. А потом рассмотрите последовательность таких функций со сдвигом, стремящемся к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Полнота пространства
Сообщение10.02.2015, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Ну да, так намного проще :D , спасибо Вам большое.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group