Полнота пространства

[demolishka]

Пусть $X$ - пространство непрерывно дифференцируемых функций на отрезке $[0;1]$ и равных нулю в некоторой окрестности нуля(окрестность зависит от функции). Рассмотрим на $X$ норму

$$\|x\|_{X} = \max\limits_{n \in \mathbb{N}}|x(\frac{1}{n})| + \max\limits_{n \in \mathbb{N}}\left(n^{\alpha} \cdot \max\limits_{t \in [\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}]}\left(t|x'(t)|\right)\right), \\ \alpha \in \mathbb{R}.$$

Будет ли $X$ полным относительно этой нормы?

При $\alpha \geq -1$ известно, что $\|.\|_X$ сильнее $\|.\|_{\infty}.$ Но по норме $\|.\|_{\infty}.$ пространство $X$ не полное. Так что никаких выводов отсюда не получить. Явный контрпример что-то в голову не идет, также и с доказательством полноты.

[ewert]

demolishka в сообщении #975902 писал(а):

Явный контрпример что-то в голову не идет,

Ну как оно может быть полным, если элементы пополнения явно не обязаны быть финитными?

[demolishka]

Вышло нечто такое:

Значения в точках $\frac{1}{n}$ равны нулю, а между ними такие "горочки" с достаточно малым значением в вершине(значение зависит от номера горочки) - чтобы величина $n^{\alpha} \max \left( t |x'_n(t)-x'_m(t)|\right)$ убегала в ноль. Тогда последовательность, очевидно, фундаментальна. Но предельный элемент обязан обладать свойствами: нулевые значения в точках последовательности $\frac{1}{n}$ и положительная производная между соседними точками этой последовательности, а значит, в любой окрестности нуля у него будут положительные значения. Ну и не забыть "сгладить" последовательность в вершинах для непрерывной дифференцируемости.

[ewert]

Жуть какая. Возьмите просто функцию (например, степенную), достаточно быстро стремящуюся к нулю в нуле. Отодвиньте её чуть вправо, занулив освободившуюся окрестность нуля. А потом рассмотрите последовательность таких функций со сдвигом, стремящемся к нулю.

[demolishka]

Ну да, так намного проще , спасибо Вам большое.