Задача Коши для ДУ (интересный пример НЕединственности)

[Brukvalub]

Вам стоит ознакомиться с определением решения д.у. : http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%8B%D0%BA%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
и проверить, используя это определение, справедливость слов участника с ником Профессор Снэйп (да и моих - тоже).

[worm2]

Давайте попробуем зайти с другой стороны: в классической теореме о единственности решения дифура y' = f(x,y) в качестве необходимого условия стоит непрерывность f(x,y). Неужели кто-то думает, что это условие там просто так стоит и его можно отбросить? Нет! Это условие существенно, что блестяще показано примером в этой теме. Если его нарушить, может и единственность нарушиться! Не согласны? Возьмите тогда теорему, исключите из неё это условие и попробуйте доказать. Это трудный путь, но, быть может, прошедший его обретёт истинное знание?

[Echo-Off]

worm2 писал(а):

классической теореме о единственности решения дифура y' = f(x,y) в качестве необходимого условия стоит непрерывность f(x,y).

Окромя того, непрерывность $\frac{\partial f}{\partial y}$. Окромя того, это достаточное условие, но не необходимое.

[незваный гость]

worm2 писал(а):

Это условие существенно, что блестяще показано примером в этой теме.

Этот пример, увы, не доказал необходимость этого условия. Для доказательства необходимости нужно доказать, что стоит отбросить условие — и при любой правой части мы потеряем однозначность.

[worm2]

Echo-Off писал(а):

worm2 писал(а):

классической теореме о единственности решения дифура y' = f(x,y) в качестве необходимого условия стоит непрерывность f(x,y).

Окромя того, непрерывность $\frac{\partial f}{\partial y}$. Окромя того, это достаточное условие, но не необходимое.

Гм... я неправильно выразился. Написав "необходимого", я хотел сказать, что если это условие убрать (конечно, тогда придётся убрать и непрерывность $\frac{\partial f}{\partial y}$), то теорема станет неверной. Но если её всё же попробовать доказать без этих условий, то, может быть, наступит просветление

[serpav]

незваный гость писал(а):

:evil:
... общее решение этого уравнения записывается как $ y = C_1 e^{-1/x^2 } \ \ x < 0$, $y(0) = 0$, $ y = C_2 e^{-1/x^2 } \ \ x > 0$ по причинам, указанным worm2. Обычно этой тонкостью интегрирования пренебрегают, но здесь — нельзя.

А если Вы не верите, что я привёл общее решение, то докажите (здесь), что Ваше решение — общее.

Пока вы не запишете ваше "общее решение" единым выражением вида y=f(x), а не как соединение кусков, вы не поймете какая особенность возникает в точке сшивания. И именно эта особенность не позволяет считать такую функцию решением данного ДУ. Точка (0,0), которая родила в этой дискуссии чуть ли не пародокс является всего навсего точкой пересечения интегральных кривых (особой точкой типа фокус). А это совсем не означает, что вы можете в этой точке из одной интегральной кривой кривой переезжать на другую и получать из такого фокуса решение данного ДУ.

[worm2]

М-дя, моя неуклюжая попытка с треском провалилась. Есть ещё PAV, обладающий удивительным даром объяснять вещи так, чтобы всем было понятно... но в этом случае я уже начинаю сомневаться, что и ему это удалось бы...

[Echo-Off]

serpav писал(а):

Пока вы не запишете ваше "общее решение" единым выражением вида y=f(x)

Пожалуйста: $y(x) = (C_1 sign(x)+C_2)e^{-1/x^2}$ (в нуле по непрерывности доопределяем 0).

serpav, что вам не нравится в ответе незваного гостя? Ведь в определении решения ДУ ничего не говорится, что функцию можно записать одной формулой (а то ведь ещё придётся лезть в дебри логики, определяя "формулу"), а говорится, что это функция, дифференцируемая сколько надо раз и при каждом $x$ удовлетворяющая ДУ. Функция, предъявленная незваным гостем, этому определению удовлетворяет.

[V.V.]

Echo-Off писал(а):

worm2 писал(а):

классической теореме о единственности решения дифура y' = f(x,y) в качестве необходимого условия стоит непрерывность f(x,y).

Окромя того, непрерывность $\frac{\partial f}{\partial y}$.

Непрерывность $\frac{\partial f}{\partial y}$ не нужна. Для доказательства единственности достаточно липшицевости $f$ по $y$. И липшицевость, кстати, не необходима, о чем можно узнать, изучив теорему единственности Осгуда.

А непрерывности $f(x,y)$ достаточно для существования (теорема Пеано).

[незваный гость]

serpav писал(а):

Пока вы не запишете ваше "общее решение" единым выражением вида y=f(x), а не как соединение кусков,

Вас кто-то нагло обманул. Решения никто не требует записывать в виде какого-бы-то-ни-было выражения. Этот миф — что все ответы красивые — прочно вбивается в головы школьников и студентов плохими учебниками и ленивыми преподавателями.

Во многих случаях выражения, о котором Вы пишите, просто не существует. То, что называется называется «специальной» функцией — зачастую просто хорошо изученное решение дифференциального уравнения, которое не удаётся выразить явно.

[Brukvalub]

serpav писал(а):

Пока вы не запишете ваше "общее решение" единым выражением вида y=f(x), а не как соединение кусков, вы не поймете какая особенность возникает в точке сшивания.

Я не понимаю, почему построенная участником с ником Профессор Снэйп функция не является решением. Разве в определении решения есть требование, чтобы решение записывалось одной формулой? И разве пересечение решений не нарушает теорему единственности?

[незваный гость]

Кстати, полезно разобраться с уравнением $x y' = y$. Никаких чудес, но: решениями будут прямые, а не склейка двух лучей. Почему? Потому, что иначе не существует производная в 0.

Но у нас-то она существует!

[Someone]

Ещё интересный пример: $y'=2\sqrt{y}$. Это уравнение имеет следующие решения:
1) $y=0$ (особое решение),
2) $y=(x+C)^2, x>-C$ (общее решение в области $y>0$; при каждом конкретном $C\in\mathbb R$ получается частное решение),
3) $y=\begin{cases}0\text{ при }x\leqslant-C\text{,}\\ (x+C)^2\text{ при }x>-C\end{cases}$ (это не общее решение; решение при каждом $C\in\mathbb R$ не является ни особым, ни частным).

К сожалению, часто встречаются определения общего решения как функции $y=\varphi(x,C)$, которая при каждом допустимом $C$ является решением дифференциального уравнения, и частного решения как результата подстановки в общее решение конкретного числа вместо $C$. Возможно, serpav стал жертвой такого подхода. Возможно, ему следует почитать что-нибудь более грамотное. Например:

Н.М.Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. "Высшая школа", Москва, 1967.

[Алексей К.]

Someone писал(а):

К сожалению, часто встречаются определения общего решения как функции $y=\varphi(x,C)$, которая при каждом допустимом $C$ является решением дифференциального уравнения, и частного решения как результата подстановки в общее решение конкретного числа вместо $C$. Возможно, serpav стал жертвой такого подхода.

У Камке общее решение определяется как отличное от тождества уравнение $\Phi(x,y,C)=0$. У Эльсгольца это "множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений".

Но, по-моему --- очень интересное наблюдение, которое следовало бы довести до статьи в известном сборнике "Математическое просвещение". Сговоритесь там, кому положено, доведите дело до ума...

[Brukvalub]

Алексей К. писал(а):

У Камке общее решение определяется как отличное от тождества уравнение $\Phi(x,y,C)=0$. У Эльсгольца это "множество решений, состоящее из всех без исключения частных решений".

Все правильно. Мы же здесь ведем речь не об общем решении (это специальный термин, который не эквивалентен множеству всех решений уравнения!), а об одном из решений.